Hexomino
Un hexomino (o 6-omino ) es un poliomino de orden 6, es decir, un polígono en el plano formado por 6 cuadrados del mismo tamaño conectados de borde a borde. [1] El nombre de este tipo de figura se forma con el prefijo hex(a)- . Cuando las rotaciones y los reflejos no se consideran formas distintas, hay 35 hexominós libres diferentes . Cuando las reflexiones se consideran distintas, hay 60 hexominós unilaterales . Cuando las rotaciones también se consideran distintas, hay 216 fijoshexominós. [2] [3]
La figura de arriba muestra los 35 hexominós libres posibles, coloreados según sus grupos de simetría :
Si los reflejos de un hexominó se consideran distintos, como ocurre con los hexominós de un solo lado, entonces la primera y la cuarta categoría anteriores duplicarían su tamaño, lo que daría como resultado 25 hexominós adicionales para un total de 60. Si las rotaciones también se consideran distintas, luego los hexominós de la primera categoría cuentan ocho veces, los de las siguientes tres categorías cuentan cuatro veces y los de la última categoría cuentan dos veces. Esto da como resultado 20 × 8 + (6 + 2 + 5) × 4 + 2 × 2 = 216 hexominós fijos.
Cada uno de los 35 hexominós satisface el criterio de Conway ; por tanto, todo hexominó es capaz de embaldosar el plano. [4]
Aunque un juego completo de 35 hexominós tiene un total de 210 cuadrados, no es posible empaquetarlos en un rectángulo . (Tal arreglo es posible con los 12 pentominós que pueden empaquetarse en cualquiera de los rectángulos 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12 y 6 × 10). Una forma simple de demostrar que tal empaque de hexominós no es posible es a través de un argumento de paridad . Si los hexominós se colocan en un patrón de tablero de ajedrez , entonces 11 de los hexominós cubrirán un número par de cuadrados negros (ya sea 2 blancos y 4 negros o viceversa) y los otros 24 hexominós cubrirán un número impar .de cuadrados negros (3 blancos y 3 negros). En general, se cubrirá un número par de cuadrados negros en cualquier disposición. Sin embargo, cualquier rectángulo de 210 cuadrados tendrá 105 cuadrados negros y 105 cuadrados blancos, y por lo tanto no puede ser cubierto por los 35 hexominós.
Sin embargo, existen otras figuras sencillas de 210 cuadrados que se pueden empaquetar con los hexominós. Por ejemplo, un cuadrado de 15 × 15 con un rectángulo de 3 × 5 quitado del centro tiene 210 cuadrados. Con una coloración de tablero de ajedrez, tiene 106 cuadrados blancos y 104 negros (o viceversa), por lo que la paridad no impide un empaquetamiento, y un empaquetamiento sí es posible. [5] También es posible que dos conjuntos de piezas encajen en un rectángulo de tamaño 420, o que el conjunto de 60 hexominós de un lado (18 de los cuales cubren un número par de cuadrados negros) encajen en un rectángulo de tamaño 360. [6]
