Heyting álgebra
En matemáticas , un álgebra de Heyting (también conocida como álgebra pseudo-booleana [1] ) es una red acotada (con operaciones de unión y encuentro escritas ∨ y ∧ y con el elemento mínimo 0 y el elemento mayor 1) equipado con una operación binaria a → b de implicación tal que ( c ∧ a ) ≤ b es equivalente ac ≤ ( a → b ). Desde un punto de vista lógico, A → B es por esta definición la proposición más débil para la cual modus ponens, la regla de inferencia A → B , A ⊢ B , es correcta. Como las álgebras de Boole, las álgebras de Heyting forman una variedad axiomatizable con un número finito de ecuaciones. Las álgebras de Heyting fueron introducidas por Arend Heyting ( 1930 ) para formalizar la lógica intuicionista .
Como retículas, las álgebras de Heyting son distributivas . Cada álgebra booleana es un álgebra de Heyting cuando a → b se define como ¬ a ∨ b , al igual que todo retículo distributivo completo que satisface una ley distributiva infinita unilateral cuando a → b se toma como el supremo del conjunto de todo c para que c ∧ a ≤ b . En el caso finito, toda red distributiva no vacía, en particular toda cadena finita no vacía, es automáticamente completo y completamente distributivo, y por lo tanto un álgebra de Heyting.
De la definición se deduce que 1 ≤ 0 → a , correspondiente a la intuición de que cualquier proposición a está implicada por una contradicción 0. Aunque la operación de negación ¬ a no forma parte de la definición, se puede definir como a → 0. El intuitivo El contenido de ¬ a es la proposición de que asumir a conduciría a una contradicción. La definición implica que a ∧ ¬ a = 0. Puede demostrarse además que a ≤ ¬¬ a , aunque lo contrario, ¬¬ a ≤ a , no es cierto en general, es decir, eliminación de doble negación no se sostiene en general en un álgebra de Heyting.
Las álgebras de Heyting generalizan las álgebras de Boole en el sentido de que las álgebras de Boole son precisamente las álgebras de Heyting que satisfacen a ∨ ¬ a = 1 ( centro excluido ), equivalentemente ¬¬ a = a . Los elementos de un álgebra de Heyting H de la forma ¬ a comprenden una red booleana, pero en general no es una subálgebra de H (ver más abajo ).
Las álgebras de Heyting sirven como modelos algebraicos de la lógica intuicionista proposicional de la misma manera que las álgebras booleanas modelan la lógica clásica proposicional . La lógica interna de un topos elemental se basa en el álgebra de Heyting de subobjetos del objeto terminal 1 ordenados por inclusión, equivalentemente los morfismos de 1 al clasificador de subobjetos Ω.
Los conjuntos abiertos de cualquier espacio topológico forman un álgebra de Heyting completa . Las álgebras de Heyting completas se convierten así en un objeto central de estudio en la topología sin sentido .
