En matemáticas , especialmente en la teoría de órdenes , un álgebra de Heyting completa es un álgebra de Heyting que está completa como una celosía . Las álgebras de Heyting completas son objetos de tres categorías diferentes ; la categoría CHey , la categoría Loc de locales y su opuesto , la categoría Frm de tramas. Aunque estas tres categorías contienen los mismos objetos, difieren en sus morfismos y, por lo tanto, obtienen nombres distintos. Solo los morfismos de CHey sonhomomorfismos de álgebras de Heyting completas.
Las configuraciones regionales y los marcos forman la base de la topología sin sentido , que, en lugar de basarse en la topología de conjuntos de puntos , reformula las ideas de la topología general en términos categóricos, como declaraciones sobre marcos y configuraciones regionales.
Definición
Considere un conjunto parcialmente ordenado ( P , ≤) que es una red completa . Entonces P es un álgebra o marco de Heyting completo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- P es un álgebra de Heyting, es decir, la operacióntiene un adjunto derecho (también llamado el adjunto inferior de un monótono () conexión de Galois ), para cada elemento x de P .
- Para todos los elementos x de P y todos los subconjuntos S de P , se cumple la siguiente ley de distributividad infinita :
- P es una red distributiva, es decir, para todo x , y y z en P , tenemos
- y las operaciones de encuentro son de Scott continua (es decir, preservar la suprema de conjuntos dirigidos ) para todo x en P .
La definición implícita de implicación de Heyting es
Usando un poco más de teoría de categorías, podemos definir de manera equivalente un marco como un poset cerrado cartesiano cocompleto .
Ejemplos de
El sistema de todos los conjuntos abiertos de un espacio topológico dado ordenados por inclusión es un álgebra de Heyting completa.
Marcos y configuraciones regionales
Los objetos de la categoría CHey , la categoría Frm de marcos y la categoría Loc de locales son álgebras de Heyting completas. Estas categorías difieren en lo que constituye un morfismo :
- Los morfismos de Frm son funciones (necesariamente monótonas ) que preservan las uniones finitas y las uniones arbitrarias.
- La definición de álgebras de Heyting implica de manera crucial la existencia de adjuntos correctos a la operación de encuentro binario, que en conjunto definen una operación de implicación adicional . Así, los morfismos de CHey son morfismos de marcos que además preservan la implicación.
- Los morfismos de Loc son opuestos a los de Frm , y se les suele llamar mapas (de locales).
La relación de los lugares y sus mapas con los espacios topológicos y las funciones continuas puede verse de la siguiente manera. Dejarser cualquier mapa. Los conjuntos de potencias P ( X ) y P ( Y ) son álgebras booleanas completas , y el mapaes un homomorfismo de álgebras booleanas completas. Supongamos que los espacios X y Y son espacios topológicos , dotados de la topología O ( X ) y O ( Y ) de conjuntos abiertos en X y Y . Tenga en cuenta que O ( X ) y O ( Y ) son subtramas de P ( X ) y P ( Y ). Si es una función continua, entonces conserva las uniones finitas y arbitrarias de estos subtramas. Esto muestra que O es un functor de la categoría Top de espacios topológicos a Loc , tomando cualquier mapa continuo
al mapa
en Loc que se define en Frm como el homomorfismo del marco de imagen inverso
Dado un mapa de locales en Loc , es común escribirpara el homomorfismo del marco que lo define en Frm . Usando esta notación, está definido por la ecuación
Por el contrario, cualquier lugar A tiene un espacio topológico S ( A ), llamado espectro , que se aproxima mejor al lugar. Además, cualquier mapa de locales determina un mapa continuo Además, esta asignación es funcional: dejando que P (1) denote la ubicación que se obtiene como el conjunto de potencia del conjunto de terminaleslos puntos de S ( A ) son los mapasen Loc , es decir, los homomorfismos de marco
Para cada definimos como el conjunto de puntos tal que Es fácil verificar que esto define un homomorfismo de marco. cuya imagen es, por tanto, una topología en S ( A ). Entonces sí es un mapa de locales, a cada punto asignamos el punto definido por dejar ser la composición de con obteniendo así un mapa continuo Esto define un functor de Loc a Top , que es adjunto derecho a O .
Cualquier lugar que sea isomorfo a la topología de su espectro se llama espacial , y cualquier espacio topológico que sea homeomorfo al espectro de su lugar de conjuntos abiertos se llama sobrio . La adjunción entre espacios topológicos y locales se restringe a una equivalencia de categorías entre espacios sobrios y locales espaciales.
Cualquier función que conserve todas las uniones (y, por tanto, cualquier homomorfismo de marco) tiene un adjunto derecho y, a la inversa, cualquier función que conserve todos los encuentros tiene un adjunto izquierdo. Por lo tanto, la categoría Loc es isomorfa a la categoría cuyos objetos son los marcos y cuyos morfismos son las funciones de conservación de la reunión cuyos adjuntos izquierdos conservan las reuniones finitas. Esto a menudo se considera una representación de Loc , pero no debe confundirse con Loc en sí, cuyos morfismos son formalmente los mismos que los homomorfismos de marco en la dirección opuesta.
Literatura
- PT Johnstone , Stone Spaces , Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3, Cambridge University Press , Cambridge, 1982. ( ISBN 0-521-23893-5 )
- Sigue siendo un gran recurso sobre localizaciones y álgebras de Heyting completas.
- G. Gierz, KH Hofmann, K. Keimel, JD Lawson, M. Mislove y DS Scott , Continuous Lattices and Domains , In Encyclopedia of Mathematics and its Applications , Vol. 93, Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-80338-1
- Incluye la caracterización en términos de continuidad de encuentro.
- Francis Borceux: Manual de álgebra categórica III , volumen 52 de la Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge, 1994.
- Recurso sorprendentemente extenso sobre localizaciones y álgebras de Heyting. Adopta un punto de vista más categórico.
- Steven Vickers , Topología a través de la lógica , Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36062-5 .
- Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de gavillas . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 .
enlaces externos
- Configuración regional en nLab