Topología sin sentido

En matemáticas , topología sin sentido (también llamado pointfree o topología pointfree , o teoría locale ) es un enfoque de la topología que evita mencionar puntos.

Intuitivamente

Tradicionalmente, un espacio topológico consta de un conjunto de puntos junto con una topología , un sistema de subconjuntos llamados conjuntos abiertos que con las operaciones de intersección y unión forma una celosía con ciertas propiedades. La topología sin puntos se basa en el concepto de un "punto realista" en lugar de un punto sin extensión. Los puntos se pueden unir (formando una celosía completa) y si un punto se encuentra con una unión de otros, tiene que encontrarse con algunos de los constituyentes, lo que, en términos generales, conduce a la ley distributiva.

${\displaystyle b\wedge \left(\bigvee a_{i}\right)=\bigvee \left(b\wedge a_{i}\right)}$.

Formalmente

El concepto básico es el de un marco , una red completa que satisface la ley distributiva anterior; los homomorfismos de marco respetan todas las uniones (en particular, el elemento menor de la celosía) y los encuentros finitos (en particular, el elemento mayor de la celosía).

Los marcos, junto con los homomorfismos de marco, forman una categoría .

Relación con la topología de conjuntos de puntos

En la topología clásica, representado en un conjunto por el sistema de conjuntos abiertos, (parcialmente ordenado por inclusión) es un marco, y si es un mapa continuo, definido por es un homomorfismo de marco. Para los espacios sobrios, tales son precisamente los homomorfismos del marco . Por lo tanto, hay una integración completa de la categoría de espacios sobrios en el dual de la categoría de marcos (generalmente llamado de la categoría de lugares). Esto justifica pensar en marcos (locales) como espacios topológicos generalizados. Un marco es espacial si es isomorfo a . Hay muchos no espaciales y este hecho resultó ser útil en varios problemas.${\displaystyle X}$${\displaystyle \Omega (X)}$${\displaystyle \Omega (X)}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle \Omega (f)\colon \Omega (Y)\to \Omega (X)}$${\displaystyle \Omega (f)(U)=f^{-1}[U]}$${\displaystyle \Omega (f)}$${\displaystyle h\colon \Omega (Y)\to \Omega (X)}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega (X)}$

La teoría de marcos y locales

La teoría de marcos y lugares en el sentido contemporáneo se inició a fines de la década de 1950 ( Charles Ehresmann , Jean Bénabou , Hugh Dowker , Dona Papert ) y se desarrolló durante las décadas siguientes ( John Isbell , Peter Johnstone , Harold Simmons , Bernhard Banaschewski , Aleš Pultr , Till Plewe, Japie Vermeulen, Steve Vickers ) en una rama viva de la topología, con aplicación en varios campos, en particular también en la informática teórica. Para obtener más información sobre la historia de la teoría local, consulte. ^[1]

Es posible traducir la mayoría de los conceptos de topología de conjuntos de puntos al contexto de locales y probar teoremas análogos. En cuanto a las ventajas del enfoque sin puntos, señalemos, por ejemplo, el hecho de que algunos hechos importantes de la topología clásica que dependen de los principios de elección se vuelven libres de elección (es decir, constructivos , lo que en particular es atractivo para la informática ). Así, por ejemplo, los productos de lugares compactos son constructivamente compactos, o las terminaciones de lugares uniformes son constructivas. Esto puede resultar útil si se trabaja en un topos que no tiene el axioma de elección. Otras ventajas incluyen el comportamiento mucho mejor de la paracompacidad o el hecho de que los subgrupos de grupos locales siempre están cerrados.

Otro punto en el que la topología y la teoría de la localización divergen fuertemente son los conceptos de subespacios versus sublocales: según el teorema de la densidad de Isbell , cada localidad tiene una sublocala densa más pequeña. Esto no tiene absolutamente ningún equivalente en el ámbito de los espacios topológicos.

Ver también

• Heyting álgebra . Un marco es un álgebra de Heyting completa .
• Álgebra booleana completa . Cualquier álgebra booleana completa es un marco (es un marco espacial si y solo si es atómico).
• Los detalles sobre la relación entre la categoría de espacios topológicos y la categoría de lugares, incluida la construcción explícita de la dualidad entre espacios sobrios y lugares espaciales, se encuentran en el artículo sobre la dualidad de Stone .
• Geometría sin puntos .

Bibliografía

1. Peter T. Johnstone, Elementos de la historia de la teoría local, en: Manual de la historia de la topología general, vol. 3, págs. 835-851, Springer, ISBN  978-0-7923-6970-7 , 2001.

Una introducción general a la topología sin sentido es

• Johnstone, Peter T. (1983). "El punto de la topología sin sentido" . Boletín de la American Mathematical Society . Series nuevas. 8 (1): 41–53. ISSN  0273-0979 . Consultado el 9 de mayo de 2016 .

Esto, en sus propias palabras, debe leerse como el avance de la excelente monografía de Johnstone (que apareció ya en 1982 y todavía puede usarse como referencia básica):

• Johnstone, Peter T. (1982). Espacios de piedra. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33779-3 . 

Hay una monografía reciente

• Picado, Jorge, Pultr, Aleš (2012). Frames y locales: Topología sin puntos. Frontiers in Mathematics, vol. 28, Springer, Basilea.

donde también se encuentra una bibliografía más extensa.

Para relaciones con lógica:

• Vickers, Steven (1996). Topología vía lógica. Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, Cambridge University Press.

Para una descripción más concisa, consulte los capítulos respectivos en:

• Pedicchio, Maria Cristina, Tholen, Walter (Eds.). Fundamentos categóricos: temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de la gavilla. Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, vol. 97, Cambridge University Press, 2003, págs. 49-101.
• Hazewinkel, Michiel (Ed.). Manual de álgebra. Vol. 3, Holanda Septentrional, Amsterdam, 2003, págs. 791–857.
• Grätzer, George, Wehrung, Friedrich (Eds.). Teoría de celosía: temas y aplicaciones especiales. Vol. 1, Springer, Basilea, 2014, págs. 55–88.