En matemáticas , la conjetura de Hilbert-Smith se ocupa de los grupos de transformación de variedades ; y en particular con las limitaciones de los grupos topológicos G que pueden actuar de forma eficaz (fiel) sobre una variedad M (topológica) . Restringiendo a G, que son localmente compactos y tienen una acción grupal continua y fiel en M , establece que G debe ser un grupo de Lie .
Debido a los resultados estructurales conocidos en G , es suficiente tratar con el caso donde G es el grupo aditivo Z p de enteros p-ádicos , para algún número primo p . Una forma equivalente de la conjetura es que Z p no tiene una acción de grupo fiel en una variedad topológica.
El nombre de la conjetura es para David Hilbert y el topólogo estadounidense Paul A. Smith . [1] Algunos consideran que es una mejor formulación del quinto problema de Hilbert que la caracterización en la categoría de grupos topológicos de los grupos de Lie que se suelen citar como solución.
En 1997, Dušan Repovš y Evgenij Ščepin probaron la conjetura de Hilbert-Smith para grupos que actúan mediante mapas de Lipschitz en una variedad de Riemann utilizando la teoría de la dimensión de cobertura , fractal y cohomológica . [2]
En 1999, Gaven Martin extendió su argumento de la teoría de la dimensión a acciones cuasiconformales en una variedad riemanniana y dio aplicaciones relativas a la continuación analítica única para los sistemas Beltrami. [3]
En 2013, John Pardon demostró el caso tridimensional de la conjetura de Hilbert-Smith. [4]
Referencias
- ^ Smith, Paul A. (1941). "Transformaciones periódicas y casi periódicas". En Wilder, R .; Ayres, W (eds.). Conferencias de Topología . Ann Arbor, MI: Prensa de la Universidad de Michigan. págs. 159-190.
- ^ Repovš, Dušan ; Ščepin, Evgenij V. (junio de 1997). "Una prueba de la conjetura de Hilbert-Smith para acciones por mapas de Lipschitz". Mathematische Annalen . 308 (2): 361–364. doi : 10.1007 / s002080050080 .
- ^ Martin, Gaven (1999). "La conjetura de Hilbert-Smith para acciones cuasiconformales". Anuncios de investigación electrónica de la American Mathematical Society . 5 (9): 66–70.
- ^ Perdón, John (2013). "La conjetura de Hilbert-Smith para tres variedades". Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 26 (3): 879–899. arXiv : 1112.2324 . doi : 10.1090 / s0894-0347-2013-00766-3 . S2CID 96422853 .