En matemáticas , una forma modular de Hilbert es una generalización de formas modulares a funciones de dos o más variables. Es una función analítica (compleja) en el producto de m- veces de los semiplanos superiores satisfaciendo un cierto tipo de ecuación funcional .
Definición
Sea F un campo numérico totalmente real de grado m sobre el campo racional. Dejarser las inmersiones reales de F . A través de ellos tenemos un mapa
Dejar ser el anillo de los enteros de F . El grupose llama el grupo modular completo de Hilbert . Para cada elemento, hay una acción grupal de definido por
Para
definir:
Una forma modular de peso de Hilbert es una función analítica en tal que por cada
A diferencia del caso de forma modular, no se necesitan condiciones adicionales para las cúspides debido al principio de Koecher . [ dudoso ]
Historia
Estas formas modulares, para campos cuadráticos reales , se trataron por primera vez en la Habilitationsschrift de Otto Blumenthal de la Universidad de Göttingen de 1901 . Allí menciona que David Hilbert los había considerado inicialmente en obra desde 1893-4, que permaneció inédita. El trabajo de Blumenthal se publicó en 1903. Por esta razón, las formas modulares de Hilbert ahora se denominan a menudo formas modulares de Hilbert-Blumenthal .
La teoría permaneció inactiva durante algunas décadas; Erich Hecke apeló a ella en sus primeros trabajos, pero el mayor interés en las formas modulares de Hilbert aguardaba el desarrollo de la teoría de múltiples complejas .
Ver también
Referencias
- Jan H. Bruinier: Formas modulares de Hilbert y sus aplicaciones.
- Paul B. Garrett : Formas modulares holomórficas de Hilbert . Wadsworth & Brooks / Cole Advanced Books & Software, Pacific Grove, CA, 1990. ISBN 0-534-10344-8
- Eberhard Freitag : Hilbert Modular Forms . Springer-Verlag. ISBN 0-387-50586-5