En matemáticas, una superficie modular de Hilbert o superficie de Hilbert-Blumenthal es una superficie algebraica obtenida al tomar el cociente de un producto de dos copias del semiplano superior por un grupo modular de Hilbert . De manera más general, una variedad modular de Hilbert es una variedad algebraica obtenida tomando un cociente de un producto de múltiples copias del semiplano superior por un grupo modular de Hilbert.
Las superficies modulares de Hilbert fueron descritas por primera vez por Otto Blumenthal ( 1903 , 1904 ) utilizando algunas notas inéditas escritas por David Hilbert unos 10 años antes.
Definiciones
Si R es el anillo de los enteros de un verdadero campo cuadrática , entonces el Hilbert grupo modular SL 2 ( R ) actúa sobre el producto H × H de dos copias del medio plano superior H . Hay varias superficies biracionalmente equivalentes relacionadas con esta acción, cualquiera de las cuales puede llamarse superficies modulares de Hilbert :
- La superficie X es el cociente de H × H por SL 2 ( R ); no es compacto y suele tener singularidades cocientes procedentes de puntos con grupos de isotropía no triviales.
- La superficie X * se obtiene a partir de X sumando un número finito de puntos correspondientes a las cúspides de la acción. Es compacto y no solo tiene el cociente de singularidades de X , sino también singularidades en sus cúspides.
- La superficie Y se obtiene a partir de X * resolviendo las singularidades de forma mínima. Es una superficie algebraica lisa y compacta , pero en general no es mínima.
- La superficie Y 0 se obtiene a partir de Y soplando ciertas curvas -1 excepcionales. Es suave y compacto, y a menudo (pero no siempre) es mínimo.
Hay varias variaciones de esta construcción:
- El grupo modular de Hilbert puede ser reemplazado por algún subgrupo de índice finito, como un subgrupo de congruencia .
- Se puede extender el grupo modular de Hilbert por un grupo de orden 2, actuando sobre el grupo modular de Hilbert a través de la acción de Galois e intercambiando las dos copias del semiplano superior.
Singularidades
Hirzebruch (1953) mostró cómo resolver las singularidades del cociente, y Hirzebruch (1971) mostró cómo resolver las singularidades de sus cúspides.
Clasificación de superficies
Los trabajos Hirzebruch (1971) , Hirzebruch & Van de Ven (1974) e Hirzebruch & Zagier (1977) identificaron su tipo en la clasificación de superficies algebraicas . La mayoría de ellas son superficies de tipo general , pero varias son superficies racionales o superficies K3 voladas o superficies elípticas .
Ejemplos de
van der Geer (1988) ofrece una larga tabla de ejemplos.
La superficie Clebsch explotada en sus 10 puntos Eckardt es una superficie modular Hilbert.
Asociado a una extensión de campo cuadrática
Dada una extensión de campo cuadrática por hay una variedad modular Hilbert asociada obtenido de compactar una determinada variedad de cociente y resolviendo sus singularidades. Dejar denotar el semiplano superior y dejar guiarse por vía
donde el son los conjugados de Galois . [1] La variedad cociente asociada se denota
y se puede compactar a una variedad , llamadas las cúspides , que están en biyección con las clases ideales en. Resolver sus singularidades da la variedadllamada la variedad modular Hilbert de la extensión de campo . Según el teorema de compactación de Bailey-Borel, hay una incrustación de esta superficie en un espacio proyectivo. [2]
Ver también
Referencias
- ^ Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Ven, Antonius (2004). Superficies complejas compactas . Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. pag. 231. doi : 10.1007 / 978-3-642-57739-0 . ISBN 978-3-540-00832-3.
- ^ Baily, WL; Borel, A. (noviembre de 1966). "Compactificación de cocientes aritméticos de dominios simétricos delimitados". Los anales de las matemáticas . 84 (3): 442. doi : 10.2307 / 1970457 . JSTOR 1970457 .
- Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlín, doi : 10.1007 / 978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
- Blumenthal, Otto (1903), "Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen" , Mathematische Annalen , 56 (4): 509–548, doi : 10.1007 / BF01444306 , S2CID 122293576
- Blumenthal, Otto (1904), "Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen" , Mathematische Annalen , 58 (4): 497–527, doi : 10.1007 / BF01449486 , S2CID 179178108
- Hirzebruch, Friedrich (1953), "Über vierdimensionale RIEMANNsche Flächen mehrdeutiger analytischer Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen" , Mathematische Annalen , 126 (1): 1-22, doi : 10.1007 / BF01343146 , hdl : 21.11116 / 0000-0004-3A47-C , ISSN 0025-5831 , MR 0062842 , S2CID 122862268
- Hirzebruch, Friedrich (1971), "El grupo modular de Hilbert, resolución de las singularidades en las cúspides y problemas relacionados", Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/1971), Exp. No. 396 , Lecture Notes in Math, 244 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 275–288, doi : 10.1007 / BFb0058707 , ISBN 978-3-540-05720-8, MR 0417187
- Hirzebruch, Friedrich EP (1973), "Superficies modulares Hilbert", L'Enseignement Mathématique , IIe Série, 19 : 183–281, doi : 10.5169 / seals-46292 , ISSN 0013-8584 , MR 0393045
- Hirzebruch, Friedrich ; Van de Ven, Antonius (1974), "Superficies modulares de Hilbert y la clasificación de superficies algebraicas" , Inventiones Mathematicae (manuscrito enviado), 23 (1): 1–29, doi : 10.1007 / BF01405200 , hdl : 21.11116 / 0000-0004 -39A4-3 , ISSN 0020-9910 , MR 0364262 , S2CID 73577779
- Hirzebruch, Friedrich ; Zagier, Don (1977), "Clasificación de superficies modulares de Hilbert", en Baily, WL; Shioda., T. (eds.), Análisis complejo y geometría algebraica , Tokio: Iwanami Shoten, págs. 43–77, ISBN 978-0-521-09334-7, MR 0480356
- van der Geer, Gerard (1988), superficies modulares Hilbert , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas (3)], 16 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978 -3-642-61553-5 , ISBN 978-3-540-17601-5, MR 0930101
enlaces externos
- Ehlen, S., Una breve introducción a las superficies modulares Hilbert y los ciclos Hirzebruch-Zagier (PDF)