En matemáticas , una superficie elíptica es una superficie que tiene una fibración elíptica, en otras palabras, un morfismo apropiado con fibras conectadas a una curva algebraica de manera que casi todas las fibras son curvas suaves del género 1. (Sobre un campo algebraicamente cerrado como el complejo números, estas fibras son curvas elípticas , quizás sin un origen elegido). Esto es equivalente a que la fibra genérica sea una curva suave del género uno. Esto se deriva de un cambio de base adecuado .
Se supone que la superficie y la curva base no son singulares ( variedades complejas o esquemas regulares , según el contexto). Las fibras que no son curvas elípticas se denominan fibras singulares y fueron clasificadas por Kunihiko Kodaira . Ambas fibras elípticas y singulares son importantes en la teoría de cuerdas , especialmente en F-teoría .
Las superficies elípticas forman una gran clase de superficies que contienen muchos de los ejemplos interesantes de superficies, y se entienden relativamente bien en las teorías de variedades complejas y 4-variedades suaves . Son similares a (tienen analogías con, es decir), curvas elípticas sobre campos numéricos .
Ejemplos de
- El producto de cualquier curva elíptica con cualquier curva es una superficie elíptica (sin fibras singulares).
- Todas las superficies de Kodaira dimensión 1 son superficies elípticas.
- Toda superficie compleja de Enriques es elíptica y tiene una fibración elíptica sobre la línea proyectiva.
- Superficies Kodaira
- Superficies Dolgachev
- Superficies modulares Shioda
Tabla de fibras singulares de Kodaira
La mayoría de las fibras de una fibración elíptica son curvas elípticas (no singulares). Las fibras restantes se denominan fibras singulares: hay un número finito de ellas, y consisten en uniones de curvas racionales, posiblemente con singularidades o multiplicidades distintas de cero (por lo que las fibras pueden ser esquemas no reducidos). Kodaira y Néron clasificaron de forma independiente las posibles fibras, y el algoritmo de Tate se puede utilizar para encontrar el tipo de fibras de una curva elíptica sobre un campo numérico.
La siguiente tabla enumera las posibles fibras de una mínima fibración elíptica. ("Mínimo" significa aproximadamente uno que no se puede factorizar a través de uno "más pequeño"; precisamente, las fibras singulares no deben contener curvas racionales suaves con un número de auto-intersección -1.) Da:
- El símbolo de Kodaira para la fibra,
- El símbolo de André Néron para la fibra,
- El número de componentes irreducibles de la fibra (todos racionales excepto el tipo I 0 )
- La matriz de intersección de los componentes. Esta es una matriz cero de 1 × 1 o una matriz de Cartan afín , cuyo diagrama de Dynkin se da.
- Las multiplicidades de cada fibra se indican en el diagrama de Dynkin.
Kodaira | Néron | Componentes | Matriz de intersección | Diagrama de Dynkin | Fibra |
---|---|---|---|---|---|
Yo 0 | A | 1 (elíptico) | 0 | ||
Yo 1 | B 1 | 1 (con doble punta) | 0 | ||
Yo 2 | B 2 | 2 (2 puntos de intersección distintos) | afín A 1 | ||
Yo v (v≥2) | B v | v (v puntos de intersección distintos) | afín A v-1 | ||
m yo v (v≥0, m ≥2) | Yo v con multiplicidad m | ||||
II | C 1 | 1 (con cúspide) | 0 | ||
III | C 2 | 2 (reunirse en un punto del pedido 2) | afín A 1 | ||
IV | C 3 | 3 (todos se encuentran en 1 punto) | afín A 2 | ||
Yo 0 * | C 4 | 5 | afín D 4 | ||
Yo v * (v≥1) | C 5, v | 5 + v | afín D 4 + v | ||
IV * | C 6 | 7 | afín E 6 | ||
III * | C 7 | 8 | afín E 7 | ||
II * | C 8 | 9 | afín E 8 |
Esta tabla se puede encontrar de la siguiente manera. Los argumentos geométricos muestran que la matriz de intersección de los componentes de la fibra debe ser semidefinida negativa, conectada, simétrica y no tener entradas diagonales iguales a -1 (por minimidad). Dicha matriz debe ser 0 o un múltiplo de la matriz de Cartan de un diagrama de Dynkin afín de tipo ADE .
La matriz de intersección determina el tipo de fibra con tres excepciones:
- Si la matriz de intersección es 0, la fibra puede ser una curva elíptica (tipo I 0 ) o tener un punto doble (tipo I 1 ) o una cúspide (tipo II).
- Si la matriz de intersección es afín A 1 , hay 2 componentes con multiplicidad de intersección 2. Pueden encontrarse en 2 puntos con orden 1 (tipo I 2 ), o en un punto con orden 2 (tipo III).
- Si la matriz de intersección es afín A 2 , hay 3 componentes que se encuentran cada uno con los otros dos. Pueden encontrarse en parejas en 3 puntos distintos (tipo I 3 ), o todos se encuentran en el mismo punto (tipo IV).
Monodromía
La monodromía alrededor de cada fibra singular es una clase de conjugación bien definida en el grupo SL (2, Z ) de matrices enteras 2 × 2 con determinante 1. La monodromía describe la forma en que el primer grupo de homología de una fibra lisa (que es isomórfica a Z 2 ) cambia a medida que recorremos una fibra singular. Los representantes de estas clases de conjugación asociadas a fibras singulares están dados por: [1]
Fibra | Matriz de intersección | Monodromía | j- invariante | Estructura de grupo en locus liso |
---|---|---|---|---|
Yo ν | afín A ν-1 | |||
II | 0 | 0 | ||
III | afín A 1 | 1728 | ||
IV | afín A 2 | 0 | ||
Yo ν * | afín D 4 + ν | si ν es par, si ν es impar | ||
IV * | afín E 6 | 0 | ||
III * | afín E 7 | 1728 | ||
II * | afín E 8 | 0 |
Para fibras singulares de tipo II, III, IV, IV * , III * o II * , la monodromía tiene un orden finito en SL (2, Z ). Esto refleja el hecho de que una fibración elíptica tiene una buena reducción potencial en dicha fibra. Es decir, después de un recubrimiento finito ramificado de la curva base, la fibra singular puede ser reemplazada por una curva elíptica suave. La curva suave que aparece se describe mediante el invariante j en la tabla. Sobre los números complejos, la curva con j -invariante 0 es la curva elíptica única con grupo de automorfismo de orden 6, y la curva con j -invariante 1728 es la curva elíptica única con grupo de automorfismo de orden 4. (Todas las demás curvas elípticas tienen grupo de automorfismo de orden 2.)
Para una fibración elíptica con una sección , llamada fibración elíptica jacobiana , el lugar liso de cada fibra tiene una estructura de grupo. Para fibras singulares, esta estructura de grupo en el lugar liso se describe en la tabla, asumiendo por conveniencia que el campo base son los números complejos. (Para una fibra singular con matriz de intersección dada por un diagrama de Dynkin afín, el grupo de componentes del locus liso es isomorfo al centro del grupo de Lie simple simplemente conectado con el diagrama de Dynkin , como se enumera aquí .) Conocer la estructura de grupo de las fibras singulares es útil para calcular el grupo de Mordell-Weil de una fibración elíptica (el grupo de secciones), en particular su subgrupo de torsión.
Transformaciones logarítmicas
Una transformación logarítmica (de orden m con centro p ) de una superficie elíptica o fibración convierte una fibra de multiplicidad 1 sobre un punto p del espacio base en una fibra de multiplicidad m . Puede invertirse, de modo que las fibras de alta multiplicidad se pueden convertir todas en fibras de multiplicidad 1, y esto se puede utilizar para eliminar todas las fibras múltiples.
Las transformaciones logarítmicas pueden ser bastante violentas: pueden cambiar la dimensión de Kodaira y pueden convertir superficies algebraicas en superficies no algebraicas.
Ejemplo: Let L sea el enrejado Z + i Z de C , y dejar que E sea la curva elíptica C / L . Entonces, el mapa de proyección de E × C a C es una fibración elíptica. Mostraremos cómo reemplazar la fibra sobre 0 con una fibra de multiplicidad 2.
Hay un automorfismo de E × C de orden 2 que mapea ( c , s ) a ( c +1/2, −s ). Dejamos que X sea el cociente de E × C por esta acción de grupo. Convertimos X en un espacio de fibra sobre C mapeando ( c , s ) a s 2 . Construimos un isomorfismo de X menos la fibra sobre 0 a E × C menos la fibra sobre 0 mapeando ( c , s ) a ( c -log ( s ) / 2πi, s 2 ). (Las dos fibras sobre 0 son curvas elípticas no isomorfas, por lo que la fibración X ciertamente no es isomorfa a la fibración E × C sobre todo C ).
A continuación, la formación de fibras X tiene una fibra de la multiplicidad 2 por encima de 0, y por otra parte se ve como E × C . Decimos que X se obtiene aplicando una transformación logarítmica de orden 2 a E × C con centro 0.
Ver también
Notas
- ^ Barth, Hulek, Peters y Van de Ven, Compact Complex Surfaces , sección V.10, Tablas 5 y 6; Cossec y Dolgachev, Enriques Surfaces , Corolario 5.2.3.
Referencias
- Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius. Superficies complejas compactas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 4 (segunda edición ampliada). Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-00832-2. Zbl 1036.14016 .
- Cossec, François; Dolgachev, Igor . Enriques Surfaces . Boston: Birkhäuser . ISBN 3-7643-3417-7. Señor 0986969 .
- Kodaira, Kunihiko (1964). "Sobre la estructura de superficies analíticas complejas compactas. I". Soy. J. Math . 86 : 751–798. doi : 10.2307 / 2373157 . Zbl 0137.17501 .
- Kodaira, Kunihiko (1966). "Sobre la estructura de superficies analíticas complejas compactas. II". Soy. J. Math . 88 : 682–721. doi : 10.2307 / 2373150 . Zbl 0193.37701 .
- Néron, André (1964). "Modèles minimaux des variétés abéliennes sur les corps locaux et globaux" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS (en francés). 21 : 5-128. doi : 10.1007 / BF02684271 . Señor 0179172 . Zbl 0132.41403 .