En matemáticas, una variedad modular de Siegel o espacio de módulos de Siegel es una variedad algebraica que parametriza ciertos tipos de variedades abelianas de una dimensión fija . Más precisamente, las variedades modulares de Siegel son los espacios de módulos de variedades abelianas principalmente polarizadas de una dimensión fija. Llevan el nombre de Carl Ludwig Siegel , el teórico de números alemán del siglo XX que introdujo las variedades en 1943. [2] [3]
Las variedades modulares Siegel son los ejemplos más básicos de las variedades Shimura . [4] Las variedades modulares de Siegel generalizan espacios modulares de curvas elípticas a dimensiones más altas y juegan un papel central en la teoría de las formas modulares de Siegel , que generalizan las formas modulares clásicas a dimensiones más altas. [1] También tienen aplicaciones a la entropía de los agujeros negros y la teoría de campos conforme . [5]
Construcción
El Siegel variedad modular A g , que parametrizar principalmente polarizada variedades abelianas de dimensión g , se puede construir como los espacios analíticos complejos construidos como el cociente de la mitad superior del espacio Siegel de grado g por la acción de un grupo simpléctico . Espacios analíticos complejos han asociado de forma natural por las variedades algebraicas Serre 's GAGA . [1]
La variedad modular Siegel A g ( n ), que parametriza principalmente variedades abelianas polarizadas de dimensión g con una estructura de nivel n , surge como el cociente del semiespacio superior de Siegel por la acción del subgrupo de congruencia principal del nivel n de un grupo simpléctico. [1]
Una variedad modular Siegel también puede construirse como una variedad Shimura definida por el datum Shimura asociado a un espacio vectorial simpléctico . [4]
Propiedades
La variedad modular Siegel A g tiene una dimensión g ( g + 1) / 2. [1] [6] Además, Yung-Sheng Tai, Eberhard Freitag y David Mumford demostraron que A g es de tipo general cuando g ≥ 7. [1] [7] [8] [9]
Las variedades modulares de Siegel se pueden compactar para obtener variedades proyectivas . [1] En particular, una compactificación de A 2 (2) es biracionalmente equivalente al Segre cúbico que de hecho es racional . [1] Del mismo modo, una compactificación de A 2 (3) es biracionalmente equivalente al cuartico de Burkhardt, que también es racional. [1] Otra variedad modular de Siegel, denominada A 1,3 (2), tiene una compactificación que es biracionalmente equivalente a la quintica de Barth-Nieto que es biracionalmente equivalente a una variedad modular Calabi-Yau con Kodaira dimensión cero. [1]
Aplicaciones
Las formas modulares de Siegel surgen como formas diferenciales con valores vectoriales en las variedades modulares de Siegel. [1] Las variedades modulares de Siegel se han utilizado en la teoría de campos conforme a través de la teoría de las formas modulares de Siegel. [10] En la teoría de cuerdas , la función que captura de forma natural los microestados de la entropía del agujero negro en el sistema D1D5P de agujeros negros supersimétricos es una forma modular de Siegel. [5]
En 1968, Aleksei Parshin demostró que la conjetura de Mordell (ahora conocida como teorema de Faltings) se mantendría si la conjetura de finitud de Shafarevich fuera cierta al introducir el truco de Parshin. [11] [12] En 1983 y 1984, Gerd Faltings completó la demostración de la conjetura de Mordell demostrando la conjetura de finitud de Shafarevich. [13] [14] [12] La idea principal de la demostración de Faltings es la comparación de las alturas de Faltings y las alturas ingenuas a través de las variedades modulares de Siegel. [15]
Ver también
- Superficie modular Hilbert
- Esquema de Hilbert
- Variedad jacobiana
Referencias
- ^ a b c d e f g h i j k Hulek, Klaus; Sankaran, GK (2002). "La geometría de las variedades modulares Siegel" . Geometría biracional dimensional superior . Estudios Avanzados en Matemática Pura. 35 . págs. 89-156. arXiv : matemáticas / 9810153 . doi : 10.2969 / aspm / 03510089 . ISBN 978-4-931469-85-3. S2CID 119595519 .
- ^ Oda, Takayuki (2014). "Intersecciones de dos paredes del dominio fundamental de Gottschling del grupo modular Siegel del género dos". En Heim, Bernhard; Al-Baali, Mehiddin; Rupp, Florian (eds.). Formas automórficas, investigación en teoría de números de Omán . Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. 115 . Saltador. págs. 193-221. doi : 10.1007 / 978-3-319-11352-4_15 . ISBN 978-3-319-11352-4.
- ^ Siegel, Carl Ludwig (1943). "Geometría simpléctica". Revista Estadounidense de Matemáticas . Prensa de la Universidad Johns Hopkins. 65 (1): 1–86. doi : 10.2307 / 2371774 . JSTOR 2371774 .
- ^ a b Milne, James S. (2005). "Introducción a las variedades de Shimura" (PDF) . En Arthur, James; Ellwood, David; Kottwitz, Robert (eds.). Análisis armónico, fórmula de trazas y variedades Shimura . Actas de Clay Mathematics. 4 . Sociedad Estadounidense de Matemáticas y Clay Mathematics Institute. págs. 265–378. ISBN 978-0-8218-3844-0.
- ^ a b Belin, Alexandre; Castro, Alejandra; Gomes, João; Keller, Christoph A. (11 de abril de 2017). "Formas modulares Siegel y entropía del agujero negro" (PDF) . Revista de Física de Altas Energías . 2017 (4): 57. arXiv : 1611.04588 . Código Bib : 2017JHEP ... 04..057B . doi : 10.1007 / JHEP04 (2017) 057 . S2CID 53684898 . Consulte la Sección 1 del documento.
- ^ van der Geer, Gerard (2013). "La cohomología del espacio de módulos de variedades abelianas". En Farkas, Gavril; Morrison, Ian (eds.). El manual de módulos, volumen 1 . 24 . Somerville, Mass .: International Press. arXiv : 1112.2294 . ISBN 9781571462572.
- ^ Tai, Yung-Sheng (1982). "Sobre la dimensión Kodaira del espacio de módulos de variedades abelianas" . Inventiones Mathematicae . 68 (3): 425–439. Código Bibliográfico : 1982InMat..68..425T . doi : 10.1007 / BF01389411 . S2CID 120441933 .
- ^ Freitag, Eberhard (1983). Siegelsche Modulfunktionen . Grundlehren der mathischen Wissenschaften (en alemán). 254 . Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-642-68649-8 . ISBN 978-3-642-68650-4.
- ^ Mumford, David (1983). "Sobre la dimensión Kodaira de la variedad modular Siegel". En Ciliberto, C .; Ghione, F .; Orecchia, F. (eds.). Geometría algebraica - Problemas abiertos, Actas de la conferencia celebrada en Ravello, del 31 de mayo al 5 de junio de 1982 . Apuntes de clase en matemáticas. 997 . Saltador. págs. 348–375. doi : 10.1007 / BFb0061652 . ISBN 978-3-540-12320-0.
- ^ Belin, Alexandre; Castro, Alejandra; Gomes, João; Keller, Christoph A. (7 de noviembre de 2018). "Formas paramodulares Siegel y escasez en AdS3 / CFT2". Revista de Física de Altas Energías . 2018 (11): 37. arXiv : 1805.09336 . Código bibliográfico : 2018JHEP ... 11..037B . doi : 10.1007 / JHEP11 (2018) 037 . S2CID 54936474 .
- ^ Parshin, AN (1968). "Curvas algebraicas sobre campos funcionales I" (PDF) . Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Matemáticas. 32 (5): 1191-1219. Código Bibliográfico : 1968IzMat ... 2.1145P . doi : 10.1070 / IM1968v002n05ABEH000723 .
- ^ a b Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. , eds. (1986). Geometría aritmética. Artículos de la conferencia celebrada en la Universidad de Connecticut, Storrs, Connecticut, del 30 de julio al 10 de agosto de 1984 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4613-8655-1 . ISBN 0-387-96311-1. Señor 0861969 .
- ^ Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Teoremas de finitud para variedades abelianas sobre campos numéricos]. Inventiones Mathematicae (en alemán). 73 (3): 349–366. Código Bibliográfico : 1983InMat..73..349F . doi : 10.1007 / BF01388432 . Señor 0718935 . S2CID 121049418 .
- ^ Faltings, Gerd (1984). "Errata: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" . Inventiones Mathematicae (en alemán). 75 (2): 381. doi : 10.1007 / BF01388572 . Señor 0732554 .
- ^ "Faltings relaciona las dos nociones de altura por medio del espacio de módulos de Siegel ... Es la idea principal de la prueba". Bloch, Spencer (1984). "La prueba de la conjetura de Mordell" (PDF) . El inteligente matemático . 6 (2): 44. doi : 10.1007 / BF03024155 . S2CID 306251 . Archivado desde el original (PDF) el 3 de marzo de 2019.