Un principio variacional en física es un método alternativo para determinar el estado o la dinámica de un sistema físico, identificándolo como un extremo (mínimo, máximo o punto de silla) de una función o funcional. Este artículo describe el desarrollo histórico de tales principios.
Los principios de variación se encuentran entre las ideas anteriores en topografía y óptica . Los tensores de cuerda del antiguo Egipto estiraban cuerdas con cables entre dos puntos para medir el camino que minimizaba la distancia de separación, y Claudio Ptolomeo , en su Geographia (Bk 1, Ch 2), enfatizó que uno debe corregir las "desviaciones de un curso recto "; en la antigua Grecia Euclides afirma en su Catóptrica que, para la trayectoria de la luz reflejada en un espejo, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión ; y héroe de AlejandríaMás tarde demostró que este camino era el de menor longitud y menor tiempo. [1]
Esto fue generalizado a la refracción por Pierre de Fermat , quien, en el siglo XVII, refinó el principio de "la luz viaja entre dos puntos dados a lo largo del camino de menor tiempo "; ahora conocido como el principio del tiempo mínimo o el principio de Fermat .
El crédito por la formulación del principio de mínima acción se le da comúnmente a Pierre Louis Maupertuis , quien escribió sobre él en 1744 [1] y 1746, [2] aunque la verdadera prioridad es menos clara, como se analiza a continuación.
Maupertuis consideró que "la naturaleza es ahorrativa en todas sus acciones", y aplicó el principio de manera amplia: "Las leyes del movimiento y del reposo que se deducen de este principio son precisamente las mismas que las observadas en la naturaleza, podemos admirar su aplicación a todos. fenómenos. El movimiento de los animales, el crecimiento vegetativo de las plantas ... son sólo sus consecuencias; y el espectáculo del universo se vuelve tanto más grandioso, mucho más bello, más digno de su Autor, cuando se sabe que un pequeño número de leyes, sabiamente establecidas, es suficiente para todos los movimientos ". [3]
En aplicación a la física, Maupertuis sugirió que la cantidad a minimizar era el producto de la duración (tiempo) del movimiento dentro de un sistema por la " vis viva ", el doble de lo que ahora llamamos la energía cinética del sistema.
Leonhard Euler dio una formulación del principio de acción en 1744, en términos muy reconocibles, en el Additamentum 2 de su "Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes". [4] Empieza el segundo párrafo: [5]
Una traducción de este pasaje dice:
Como afirma Euler, es la integral del momento sobre la distancia recorrida (nótese que aquí, contrariamente a la notación habitual, denota la velocidad al cuadrado ) que, en notación moderna, es igual a la acción reducida . Así, Euler hizo una declaración equivalente y (aparentemente) independiente del principio variacional en el mismo año que Maupertuis, aunque un poco más tarde. En términos bastante generales, escribió que "Dado que la estructura del Universo es perfecta y es obra de un Creador sumamente sabio, en el Universo no ocurre nada en lo que no aparezca alguna relación de máximo y mínimo". Sin embargo, Euler no reclamó ninguna prioridad, como muestra el siguiente episodio.
La prioridad de Maupertuis fue disputada en 1751 por el matemático Samuel König , quien afirmó que había sido inventado por Gottfried Leibniz en 1707. Aunque similar a muchos de los argumentos de Leibniz, el principio en sí no ha sido documentado en las obras de Leibniz. El propio König mostró una copia de una carta de 1707 de Leibniz a Jacob Hermann con el principio, pero la carta original se ha perdido. En un proceso contencioso, König fue acusado de falsificación, [6] e incluso el rey de Prusia entró en el debate, defendiendo a Maupertuis, mientras Voltairedefendió König. Euler, en lugar de reclamar prioridad, fue un firme defensor de Maupertuis, y el propio Euler procesó a König por falsificación ante la Academia de Berlín el 13 de abril de 1752. [7] Las afirmaciones de falsificación fueron reexaminadas 150 años más tarde, y el trabajo de archivo de CI Gerhardt en 1898 [8] y W. Kabitz en 1913 [9] descubrieron otras copias de la carta, y otras tres citadas por König, en los archivos de Bernoulli .
Euler continuó escribiendo sobre el tema; en sus Reflexions sur quelques loix generales de la nature (1748), llamó a la cantidad "esfuerzo". Su expresión corresponde a lo que ahora llamaríamos energía potencial , por lo que su enunciado de mínima acción en estática equivale al principio de que un sistema de cuerpos en reposo adoptará una configuración que minimice la energía potencial total.
Joseph Louis Lagrange declaró la plena importancia del principio para la mecánica en 1760, [ cita requerida ] aunque el principio variacional no se utilizó para derivar las ecuaciones de movimiento hasta casi 75 años después, cuando William Rowan Hamilton en 1834 y 1835 [10 ] aplicó el principio variacional a la función para obtener lo que ahora se llama ecuaciones de movimiento de Lagrange .
En 1842, Carl Gustav Jacobi abordó el problema de si el principio variacional encontraba mínimos u otros extremos (por ejemplo, un punto de silla ); la mayor parte de su trabajo se centró en geodésicas en superficies bidimensionales. [11] Las primeras declaraciones generales claras fueron dadas por Marston Morse en las décadas de 1920 y 1930, [12] que condujeron a lo que ahora se conoce como teoría Morse . Por ejemplo, Morse mostró que el número de puntos conjugados en una trayectoria era igual al número de valores propios negativos en la segunda variación del Lagrangiano.
Se han formulado otros principios extremos de la mecánica clásica , como el principio de mínima restricción de Gauss y su corolario, el principio de mínima curvatura de Hertz .
La acción del electromagnetismo es:
La acción de Einstein-Hilbert que da lugar a las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío es
donde es el determinante de una métrica de Lorentz del espacio-tiempo y es la curvatura escalar .
Aunque es equivalente matemáticamente, existe una diferencia filosófica importante entre las ecuaciones diferenciales de movimiento y su contraparte integral . Las ecuaciones diferenciales son enunciados sobre cantidades localizadas en un solo punto en el espacio o en un solo momento de tiempo. Por ejemplo, la segunda ley de Newton establece que la fuerza instantánea aplicada a una masa produce una aceleración en el mismo instante . Por el contrario, el principio de acción no está localizado hasta cierto punto; más bien, involucra integrales sobre un intervalo de tiempo y (para campos) una región extendida del espacio. Además, en la formulación habitual deprincipios de acción clásicos , los estados inicial y final del sistema son fijos, por ejemplo,
En particular, la fijación del estado final parece otorgar al principio de acción un carácter teleológico que ha sido controvertido históricamente. Esta aparente teleología se elimina en la versión mecánica cuántica del principio de acción.