En matemáticas , y en particular en geometría diferencial y teoría de gauge , las ecuaciones de Hitchin son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales para una conexión y un campo de Higgs en un haz de vectores o haz principal sobre una superficie de Riemann , escrito por primera vez por Nigel Hitchin en 1987. [1 ] Las ecuaciones de Hitchin aparecen como una reducción dimensional de las ecuaciones de Yang-Mills de cuatro dimensiones a dos dimensiones, y las soluciones a las ecuaciones de Hitchin dan ejemplos de haces de Higgs.. La existencia de soluciones a las ecuaciones de Hitchin es equivalente a la estabilidad de la estructura correspondiente del haz de Higgs, y esta es la forma más simple de la correspondencia nobeliana de Hodge para los haces de Higgs.
El espacio de módulos de soluciones a las ecuaciones de Hitchin, el espacio de módulos de haz de Higgs, fue construido por Hitchin y fue uno de los primeros ejemplos de una variedad hiperkähler construida. Utilizando la estructura métrica en este espacio de módulos proporcionada por su descripción en términos de las ecuaciones de Hitchin, Hitchin construyó el sistema de Hitchin , un sistema completamente integrable que fue utilizado por Ngô Bảo Châu en su demostración del lema fundamental en el programa de Langlands , para el cual él recibió la medalla Fields 2010 . [2] [3]
La definición puede expresarse para una conexión en un paquete de vectores o un paquete principal , siendo las dos perspectivas esencialmente intercambiables. Aquí se presenta la definición de paquetes principales, que es la forma que aparece en el trabajo de Hitchin. [1] [4] [5]