En geometría algebraica y geometría diferencial , la correspondencia de Nonabelian Hodge o Corlette-Simpson (llamada así por Kevin Corlette y Carlos Simpson ) es una correspondencia entre los haces de Higgs y las representaciones del grupo fundamental de una variedad algebraica compleja proyectiva suave o un Kähler compacto colector .
El teorema puede considerarse una vasta generalización del teorema de Narasimhan-Seshadri que define una correspondencia entre haces de vectores estables y representaciones unitarias del grupo fundamental de una superficie de Riemann compacta . De hecho, el teorema de Narasimhan-Seshadri puede obtenerse como un caso especial de la correspondencia de Hodge no beliana estableciendo el campo de Higgs en cero.
Historia
MS Narasimhan y CS Seshadri demostraron en 1965 que los paquetes de vectores estables en una superficie compacta de Riemann corresponden a representaciones unitarias proyectivas irreductibles del grupo fundamental. [1] Este teorema fue formulado bajo una nueva luz en el trabajo de Simon Donaldson en 1983, quien mostró que los paquetes de vectores estables corresponden a conexiones Yang-Mills , cuya holonomía da las representaciones del grupo fundamental de Narasimhan y Seshadri. [2] El teorema de Narasimhan-Seshadri fue generalizado desde el caso de superficies compactas de Riemann hasta el ajuste de variedades compactas de Kähler por Donaldson en el caso de superficies algebraicas, y en general por Karen Uhlenbeck y Shing-Tung Yau . [3] [4] Esta correspondencia entre los paquetes de vectores estables y las conexiones Hermitian Yang-Mills se conoce como correspondencia Kobayashi-Hitchin .
El teorema de Narasimhan-Seshadri se refiere a representaciones unitarias del grupo fundamental. Nigel Hitchin introdujo una noción de paquete de Higgs como un objeto algebraico que debería corresponder a representaciones complejas del grupo fundamental (de hecho, la terminología "paquete de Higgs" fue introducida por Carlos Simpson después del trabajo de Hitchin). La primera instancia del teorema de Hodge no beliano fue probada por Hitchin, quien consideró el caso de paquetes de Higgs de rango dos sobre una superficie compacta de Riemann. [5] Hitchin demostró que un haz de Higgs poliestable corresponde a una solución de las ecuaciones de Hitchin , un sistema de ecuaciones diferenciales obtenido como una reducción dimensional de las ecuaciones de Yang-Mills a la dimensión dos. Donaldson demostró en este caso que las soluciones a las ecuaciones de Hitchin están en correspondencia con las representaciones del grupo fundamental. [6]
Los resultados de Hitchin y Donaldson para paquetes de Higgs de rango dos en una superficie compacta de Riemann fueron muy generalizados por Carlos Simpson y Kevin Corlette. Simpson demostró la afirmación de que los haces de Higgs poliestables corresponden a soluciones de las ecuaciones de Hitchin. [7] [8] Corlette mostró la correspondencia entre las soluciones de las ecuaciones de Hitchin y las representaciones del grupo fundamental. [9]
Definiciones
En esta sección recordamos los objetos de interés en el teorema de Hodge no beliano. [7] [8]
Paquetes de Higgs
Un paquete de Higgs sobre un colector compacto de Kähler es un par dónde es un paquete de vectores holomórficos y es un -valuado holomorfo -formular en , llamado campo de Higgs . Además, el campo de Higgs debe satisfacer.
Un paquete de Higgs es (semi-) estable si, para cada subhecha coherente adecuada, distinta de cero que es preservado por el campo de Higgs, de modo que , uno tiene
Este número racional se llama pendiente , denotado, y la definición anterior refleja la de un paquete de vectores estable . Un paquete de Higgs es poliestable si es una suma directa de paquetes de Higgs estables de la misma pendiente y, por lo tanto, es semi-estable.
Conexiones de Hermitian Yang-Mills y ecuaciones de Hitchin
La generalización de la ecuación de Hitchin a una dimensión superior puede expresarse como un análogo de las ecuaciones de Hermitian Yang-Mills para una cierta conexión construida a partir del par. Una métrica hermitiana en un paquete de Higgs da lugar a una conexión Chern y curvatura . La condición que es holomórfico se puede expresar como . Las ecuaciones de Hitchin, en una superficie compacta de Riemann, establecen que
por una constante . En dimensiones superiores, estas ecuaciones se generalizan de la siguiente manera. Definir una conexión en por . Se dice que esta conexión es una conexión Hermitian Yang-Mills (y la métrica una métrica Hermitian Yang-Mills si
Esto se reduce a las ecuaciones de Hitchin para una superficie de Riemann compacta.
Representaciones del grupo fundamental y métricas armónicas
Una representación del grupo fundamental da lugar a un paquete de vectores con conexión plana como sigue. La funda universal de es un paquete principal sobre con grupo de estructura . Por lo tanto, hay un paquete asociado a dada por
Este paquete de vectores viene naturalmente equipado con una conexión plana . Si es una métrica hermitiana en , define un operador como sigue. Descomponer en operadores de tipo y , respectivamente. Dejar ser el operador único de tipo tal que el -conexión conserva la métrica . Definir, y establecer . Definir la pseudocurvatura de ser - estar .
La métrica se dice que es armónico si
Note que la condición es equivalente a las tres condiciones , Así que si entonces el par define un haz de Higgs con estructura holomórfica en dado por el operador Dolbeault .
Es un resultado de Corlette que si es armónico, entonces automáticamente satisface y así da lugar a un paquete de Higgs. [9]
Espacios moduli
Para cada uno de los tres conceptos: haces de Higgs, conexiones planas y representaciones del grupo fundamental, se puede definir un espacio de módulos . Esto requiere una noción de isomorfismo entre estos objetos. A continuación, arregle un paquete de vectores complejos suaves. Se considerará que cada paquete de Higgs tiene el paquete de vector suave subyacente.
- (Paquetes de Higgs) El grupo de transformaciones de calibre complejas actúa en el set de paquetes de Higgs por la fórmula . Si y denotar los subconjuntos de paquetes de Higgs semiestables y estables, respectivamente, luego se obtienen espacios de módulos donde estos cocientes se toman en el sentido de la teoría geométrica invariante , entonces las órbitas cuyos cierres se cruzan se identifican en el espacio de módulos. Estos espacios de módulos se denominan espacios de módulos de Dolbeault . Tenga en cuenta que al establecer, se obtienen como subconjuntos los espacios de módulos de paquetes de vectores holomórficos estables y semiestables y . También es cierto que si se define el espacio de módulos de los haces de Higgs poliestables, entonces este espacio es isomorfo al espacio de los haces de Higgs semiestables, ya que cada órbita de calibre de los haces de Higgs semiestables contiene en su cierre una órbita única de haces de Higgs poliestables.
- (Conexiones planas) Las transformaciones de calibre complejas del grupo también actúan sobre el conjunto de conexiones planas en el paquete de vector suave . Definir los espacios de los módulos dónde denota el subconjunto que consta de conexiones planas irreducibles que no se dividen como suma directa en alguna división del paquete de vector suave . Estos espacios de módulos se denominan espacios de módulos de Rham .
- (Representaciones) El conjunto de representaciones del grupo fundamental de es actuado por el grupo lineal general por conjugación de representaciones. Denotar por los superíndices y los subconjuntos constan de representaciones semisimples y representaciones irreductibles, respectivamente. Luego defina espacios de módulos de representaciones semisimples e irreductibles, respectivamente. Estos cocientes se toman en el sentido de la teoría geométrica invariante , donde se identifican dos órbitas si sus cierres se cruzan. Estos espacios de módulos se denominan espacios de módulos de Betti .
Declaración
El teorema de Hodge no beliano se puede dividir en dos partes. La primera parte fue probada por Donaldson en el caso de paquetes Higgs de rango dos sobre una superficie compacta de Riemann, y en general por Corlette. [6] [9] En general, el teorema de Hodge no beliano es válido para una variedad proyectiva compleja suave, pero algunas partes de la correspondencia son más generales para los colectores Kähler compactos.
Teorema de Hodge no beliano (parte 1): una representación del grupo fundamental es semisimple si y solo si el paquete vectorial plano admite una métrica armónica. Además, la representación es irreducible si y solo si el conjunto de vectores planos es irreductible.
La segunda parte del teorema fue probada por Hitchin en el caso de paquetes de Higgs de rango dos en una superficie compacta de Riemann, y en general por Simpson. [5] [7] [8]
Teorema de Hodge no beliano (parte 2): un paquete de Higgstiene una métrica de Hermitian Yang-Mills si y solo si es poliestable. Esta métrica es una métrica armónica y, por lo tanto, surge de una representación semisimple del grupo fundamental, si y solo si las clases de Chern y desaparecer. Además, un haz de Higgs es estable si y solo si admite una conexión hermitiana Yang-Mills irreductible y, por lo tanto, proviene de una representación irreductible del grupo fundamental.
Combinados, la correspondencia se puede redactar de la siguiente manera:
Teorema de Hodge no beliano: un paquete de Higgs (que es topológicamente trivial) surge de una representación semisimple del grupo fundamental si y solo si es poliestable. Además, surge de una representación irreductible si y solo si es estable.
En términos de espacios de módulos
La correspondencia de Hodge no beliana no solo da una biyección de conjuntos, sino también homeomorfismos de espacios de módulos. De hecho, si dos haces de Higgs son isomorfos, en el sentido de que pueden estar relacionados mediante una transformación de calibre y, por lo tanto, corresponden al mismo punto en el espacio de módulos de Dolbeault, entonces las representaciones asociadas también serán isomorfas y darán el mismo punto en el Espacio Betti moduli. En términos de los espacios de módulos, el teorema de Hodge no beliano puede expresarse de la siguiente manera.
Teorema de Hodge no beliano (versión del espacio de módulos): hay homeomorfismos de espacios de módulos que se restringen a homeomorfismos .
En general, estos espacios de módulos no serán solo espacios topológicos , sino que tendrán alguna estructura adicional. Por ejemplo, el espacio de módulos de Dolbeault y el espacio de módulos de Bettison variedades algebraicas naturalmente complejas , y donde es suave, el espacio de módulos de Rhames una variedad de Riemann. En el lugar común donde estos espacios de módulos son suaves, el mapa es un difeomorfismo, y dado que es una variedad compleja en el locus liso, obtiene una estructura compleja y compatible con Riemann y, por lo tanto, es una variedad de Kähler.
Del mismo modo, en el lugar liso, el mapa es un difeomorfismo. Sin embargo, aunque los espacios de los módulos Dolbeault y Betti tienen estructuras complejas naturales, estos no son isomorfos. De hecho, si se denotan(para las estructuras integrables casi complejas asociadas ) entonces. En particular, si uno define una tercera estructura casi compleja por luego . Si se combinan estas tres estructuras complejas con la métrica de Riemann que proviene de, luego, en el lugar liso, los espacios de los módulos se convierten en una variedad Hyperkähler .
Relación con la correspondencia y las representaciones unitarias de Hitchin-Kobayashi
Si uno establece el campo de Higgs a cero, entonces un paquete de Higgs es simplemente un paquete de vectores holomórficos. Esto le da una inclusióndel espacio de módulos de paquetes de vectores holomórficos semi-estables en el espacio de módulos de paquetes de Higgs. La correspondencia de Hitchin-Kobayashi da una correspondencia entre los haces de vectores holomórficos y las conexiones de Hermitian Yang-Mills sobre variedades compactas de Kähler, y por lo tanto puede verse como un caso especial de la correspondencia de Hodge no beliana.
Cuando el paquete de vectores subyacente es topológicamente trivial, la holonomía de una conexión Hermitian Yang-Mills dará lugar a una representación unitaria del grupo fundamental, . El subconjunto del espacio Betti moduli correspondiente a las representaciones unitarias, denotado, se mapeará isomórficamente en el espacio de módulos de paquetes de vectores semi-estables .
Ejemplos de
Paquetes de Higgs de rango uno en superficies compactas de Riemann
El caso especial en el que el rango del paquete de vectores subyacente es uno da lugar a una correspondencia más simple. [10] En primer lugar, cada paquete de líneas es estable, ya que no hay submareas adecuadas distintas de cero. En este caso, un paquete de Higgs consta de un par de un paquete de líneas holomórficas y una holomorfa -forma, ya que el endomorfismo de un paquete de líneas es trivial. En particular, el campo de Higgs está desacoplado del paquete de líneas holomórficas, por lo que el espacio de módulos se dividirá como un producto, y la forma única satisface automáticamente la condición . El grupo de calibres de un haz de líneas es conmutativo, por lo que actúa trivialmente en el campo de Higgs.por conjugación. Por tanto, el espacio de módulos puede identificarse como un producto
de la variedad jacobiana de, clasificando todos los paquetes de líneas holomórficas hasta el isomorfismo, y el espacio vectorial de holomorfo -formas.
En el caso de paquetes de Higgs de rango uno en superficies compactas de Riemann, se obtiene una descripción más detallada del espacio de módulos. El grupo fundamental de una superficie compacta de Riemann, un grupo de superficies , está dado por
dónde es el género de la superficie de Riemann. Las representaciones de en el grupo lineal general por lo tanto están dados por -tuplas de números complejos distintos de cero:
Desde es abeliano, la conjugación en este espacio es trivial, y el espacio de Betti moduli es . Por otro lado, por la dualidad de Serre , el espacio de holomorfismo-formas es dual a la cohomología de la gavilla . La variedad jacobiana es una variedad abeliana dada por el cociente
también los espacios tangentes dados por el espacio vectorial y paquete cotangente
Es decir, el espacio de módulos de Dolbeault, el espacio de módulos de los haces de líneas holomórficas de Higgs, es simplemente el haz cotangente del jacobiano, el espacio de módulos de los haces de líneas holomórficas. La correspondencia no beliana de Hodge, por lo tanto, da un difeomorfismo
que no es un biholomorfismo. Se puede comprobar que las estructuras complejas naturales en estos dos espacios son diferentes y satisfacen la relación, dando una estructura hiperkähler en el paquete cotangente al jacobiano.
Generalizaciones
Es posible definir la noción de principal -Paquete de Higgs para un grupo algebraico reductivo complejo , una versión de paquetes de Higgs en la categoría de paquetes principales . Existe una noción de un conjunto principal estable , y se puede definir un principal estable-Paquete de Higgs. Una versión del teorema de Hodge no beliano es válida para estos objetos, relacionando principales-Higgs agrupa las representaciones del grupo fundamental en . [7] [8] [11]
Teoría nobeliana de Hodge
La correspondencia entre los haces de Higgs y las representaciones del grupo fundamental puede expresarse como una especie de teorema de Hodge no beliano , es decir, una analogía de la descomposición de Hodge de una variedad de Kähler , pero con coeficientes en el grupo no beliano en lugar del grupo abeliano . La exposición aquí sigue la discusión de Oscar García-Prada en el apéndice del Análisis diferencial de Wells sobre colectores complejos . [12]
Descomposición de Hodge
La descomposición de Hodge de una variedad compacta de Kähler descompone la cohomología compleja de Rham en la cohomología más fina de Dolbeault :
En el grado uno esto da una suma directa
donde hemos aplicado el teorema de Dolbeault para expresar la cohomología de Dolbeault en términos de cohomología de gavilla de la gavilla de holomorphic-formas y la estructura de la gavilla de funciones holomorfas en .
Cohomología no beliana
Al construir la cohomología de la gavilla , el coeficiente gavillaes siempre un haz de grupos abelianos. Esto se debe a que para un grupo abeliano, cada subgrupo es normal , por lo que el grupo del cociente
El número de ciclos de gavillas por los límites de las gavillas siempre está bien definido. Cuando la gavilla no es abeliano, estos cocientes no están necesariamente bien definidos, por lo que no existen teorías de cohomología de gavillas, excepto en los siguientes casos especiales:
- : El grupo de cohomología de la gavilla 0 es siempre el espacio de las secciones globales de la gavilla. , por lo que siempre está bien definido incluso si es nobeliano.
- : El primer conjunto de cohomología de gavilla está bien definido para una gavilla no belia., pero no es en sí mismo un grupo cociente .
- : En algunos casos especiales, se puede definir un análogo de la cohomología de gavilla de segundo grado para gavillas no belias utilizando la teoría de los gerbios .
Un ejemplo clave de cohomología no beliana ocurre cuando la gavilla de coeficientes es , el haz de funciones holomórficas en el complejo grupo lineal general . En este caso, es un hecho bien conocido de Čech cohomology que el conjunto de cohomología
está en correspondencia uno a uno con el conjunto de paquetes de vectores holomórficos de rango en , hasta el isomorfismo. Observe que hay un conjunto de vectores holomórficos distinguidos de rango, el paquete de vectores trivial, por lo que en realidad es un conjunto de cohomología en punta . En el caso especial el grupo lineal general es el grupo abeliano de números complejos distintos de cero con respecto a la multiplicación. En este caso, se obtiene el grupo de haces de líneas holomórficas hasta el isomorfismo, también conocido como grupo Picard .
Teorema de Hodge no beliano
El primer grupo de cohomología es isomorfo al grupo de homomorfismos del grupo fundamental a . Esto se puede entender, por ejemplo, aplicando el teorema de Hurewicz . Por lo tanto, la descomposición regular de Hodge mencionada anteriormente puede expresarse como
La correspondencia de Hodge no beliana da una analogía de este enunciado del teorema de Hodge para la cohomología nobeliana, como sigue. Un paquete de Higgs consta de un par dónde es un paquete de vectores holomórficos, y es un holomorfo, valorado por endomorfismo ( 1 , 0 ) {\ Displaystyle (1,0)} -forma . El paquete de vectores holomórficos puede identificarse con un elemento de como se ha mencionado más arriba. Por lo tanto, un paquete de Higgs puede considerarse como un elemento del producto directo
La correspondencia de Hodge no beliana da un isomorfismo del espacio de módulos de -representaciones del grupo fundamental al espacio de módulos de los haces de Higgs, que por lo tanto podría escribirse como un isomorfismo
Esto puede verse como una analogía de la descomposición regular de Hodge anterior. El espacio modular de las representaciones juega el papel de la primera cohomología de con coeficientes no belianos, el conjunto de cohomología juega el papel del espacio , y el grupo desempeña el papel de las formas holomórficas (1,0) .
El isomorfismo aquí está escrito , pero esto no es un isomorfismo real de conjuntos, ya que el espacio de módulos de los haces de Higgs no está literalmente dado por la suma directa anterior, ya que esto es solo una analogía.
Estructura Hodge
El espacio de los módulos de los haces de Higgs semiestables tiene una acción natural del grupo multiplicativo , dado escalando el campo de Higgs: por . Para la cohomología abeliana, talLa acción da lugar a una estructura de Hodge , que es una generalización de la descomposición de Hodge de la cohomología de una variedad Kähler compacta. Una forma de entender el teorema de Hodge no beliano es utilizar el acción en el espacio de módulos para obtener una filtración Hodge. Esto puede conducir a nuevos invariantes topológicos de la variedad subyacente.. Por ejemplo, se obtienen restricciones sobre qué grupos pueden aparecer como los grupos fundamentales de las variedades compactas de Kähler de esta manera. [7]
Referencias
- ^ Narasimhan, MS ; Seshadri, CS (1965). "Paquetes de vectores estables y unitarios en una superficie compacta de Riemann". Annals of Mathematics . 82 (3): 540–567. doi : 10.2307 / 1970710 . JSTOR 1970710 . Señor 0184252 .
- ^ Donaldson, Simon K. (1983), "Una nueva demostración de un teorema de Narasimhan y Seshadri" , Journal of Differential Geometry , 18 (2): 269-277, doi : 10.4310 / jdg / 1214437664 , MR 0710055
- ^ Donaldson, Simon K. (1985). "Conexiones de Yang-Mills anti-auto-dual sobre superficies algebraicas complejas y paquete de vector estable". Actas de la London Mathematical Society . 3. 50 (1): 1–26. doi : 10.1112 / plms / s3-50.1.1 . Señor 0765366 .
- ^ Uhlenbeck, Karen ; Yau, Shing-Tung (1986), "Sobre la existencia de conexiones Hermitian-Yang-Mills en paquetes de vectores estables", Communications on Pure and Applied Mathematics , 39 : S257-S293, doi : 10.1002 / cpa.3160390714 , ISSN 0010- 3640 , MR 0861491
- ^ a b Hitchin, Nigel J. (1987). "Las ecuaciones de auto-dualidad en una superficie de Riemann". Actas de la London Mathematical Society . 55 (1): 59-126. doi : 10.1112 / plms / s3-55.1.59 . Señor 0887284 .
- ^ a b Donaldson, Simon K. (1987). "Mapas armónicos retorcidos y ecuaciones de auto-dualidad". Actas de la London Mathematical Society . 55 (1): 127-131. doi : 10.1112 / plms / s3-55.1.127 . Señor 0887285 .
- ^ a b c d e Simpson, Carlos T. (1991), "Teoría nobeliana de Hodge", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Kioto, 1990) (PDF) , 1 , Tokio: Matemáticas. Soc. Japón, págs. 747–756, MR 1159261
- ^ a b c d Simpson, Carlos T. (1992). "Paquetes de Higgs y sistemas locales" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 75 : 5-95. doi : 10.1007 / BF02699491 . Señor 1179076 . S2CID 56417181 .
- ^ a b c Corlette, Kevin (1988). "Flat G -bundles con métricas canónicas" . Revista de geometría diferencial . 28 (3): 361–382. doi : 10.4310 / jdg / 1214442469 . Señor 0965220 .
- ^ Goldman, William M .; Xia, Eugene Z. (2008). "Rango uno paquetes de Higgs y representaciones de grupos fundamentales de superficies de Riemann" . Memorias de la American Mathematical Society . 193 (904): viii + 69 págs. ArXiv : math / 0402429 . doi : 10.1090 / memo / 0904 . ISSN 0065-9266 . Señor 2400111 . S2CID 2865489 .
- ^ Anchouche, Boudjemaa; Biswas, Indranil (2001). "Conexiones de Einstein-Hermitian en paquetes principales poliestables sobre un colector compacto de Kähler" (PDF) . Revista Estadounidense de Matemáticas . 123 (2): 207–228. doi : 10.1353 / ajm.2001.0007 . Señor 1828221 . S2CID 122182133 .
- ^ Wells, Raymond O., Jr. (1980). Análisis diferencial de variedades complejas . Textos de Posgrado en Matemáticas . 65 (2ª ed.). Nueva York-Berlín: Springer-Verlag . ISBN 0-387-90419-0. Señor 0608414 .