En geometría diferencial , una variedad Hyperkähler es una variedad Riemanniana de dimensión.y grupo de holonomía contenido en Sp ( k ) (aquí Sp ( k ) denota una forma compacta de un grupo simpléctico , identificado con el grupo de endomorfismos unitarios cuaterniónico-lineales de un-espacio hermitiano cuaterniónico dimensional). Los colectores Hyperkähler son clases especiales de colectores Kähler . Pueden considerarse análogos cuaterniónicos de las variedades de Kähler. Todas las variedades hiperkähler son Ricci-flat y, por tanto, son variedades Calabi-Yau (esto se puede ver fácilmente si se observa que Sp ( k ) es un subgrupo del grupo unitario especial SU (2 k ) ).
Las variedades Hyperkähler fueron definidas por Eugenio Calabi en 1978.
Estructura cuaterniónica
Cada variedad hiperkähler M tiene una 2-esfera de estructuras complejas (es decir , estructuras casi complejas integrables ) con respecto a la cual la métrica es Kähler.
En particular, es una variedad hipercompleja , lo que significa que hay tres estructuras complejas distintas, I , J y K , que satisfacen las relaciones del cuaternión
Cualquier combinación lineal
con números reales tales que
también es una estructura compleja en M . En particular, el espacio tangente T x M es un espacio vectorial quaternionic para cada punto x de M . Sp ( k ) puede considerarse como el grupo de transformaciones ortogonales deque son lineales con respecto a I , J y K . De esto se sigue que la holonomía de lo múltiple está contenida en Sp ( k ) . Por el contrario, si el grupo de holonomía de la variedad Riemanniana M está contenido en Sp ( k ) , elija estructuras complejas I x , J x y K x en T x M que convierten a T x M en un espacio vectorial cuaterniónico. Transporte paralelo de estas estructuras complejas da la estructura quaternionic requerido en M .
Forma simpléctica holomórfica
Una variedad hiperkähler ( M , I , J , K ) , considerada como una variedad compleja ( M , I ) , es holomórficamente simpléctica (equipada con una forma 2 holomórfica, no degenerada). Lo contrario también es cierto en el caso de las variedades compactas, debido a la prueba de Shing-Tung Yau de la conjetura de Calabi : dada una variedad compacta, Kähler, holomórficamente simpléctica ( M , I ) , siempre está equipada con una métrica Hyperkähler compatible. . Esta métrica es única en una determinada clase de Kähler. Las variedades compactas hiperkähler se han estudiado extensamente utilizando técnicas de geometría algebraica , a veces con el nombre de variedades holomórficas simplécticas . El grupo de holonomía de cualquier métrica de Calabi-Yau en una variedad compacta holomórfica simpléctica simplemente conectada cones exactamente Sp ( k ) ; y si el colector Calabi-Yau simplemente conectado tiene, es solo el producto riemanniano de variedades hiperkähler de dimensiones inferiores. Este hecho se sigue inmediatamente de la fórmula de Bochner para las formas holomórficas en una variedad de Kähler, junto con la clasificación de Berger de los grupos de holonomía; Irónicamente, a menudo se atribuye a Bogomolov, quien incorrectamente afirmó en el mismo artículo que los colectores hiperkähler compactos en realidad no existen.
Ejemplos de
Debido a la clasificación de superficies complejas de Kunihiko Kodaira , sabemos que cualquier colector de 4 colectores Hyperkähler compacto es una superficie K3 o un toro compacto.. (Cada variedad Calabi-Yau en 4 dimensiones (reales) es una variedad hiperkähler, porque SU (2) es isomorfa a Sp (1) .)
Como fue descubierto por Beauville, el esquema de Hilbert de k puntos en una variedad compacta hiperkähler 4 es una variedad hiperkähler de dimensión 4k . Esto da lugar a dos series de ejemplos compactos: esquemas de Hilbert de puntos sobre una superficie K3 y variedades Kummer generalizadas .
Los 4-variedades hiperkähler no compactos, completos, que son asintóticos a H / G , donde H denota los cuaterniones y G es un subgrupo finito de Sp (1) , se conocen como espacios asintóticamente euclidianos localmente o ALE. Estos espacios, y diversas generalizaciones que involucran diferentes comportamientos asintóticos, se estudian en física con el nombre de instantaneos gravitacionales . El ansatz de Gibbons-Hawking da ejemplos invariantes bajo una acción de círculo.
Muchos ejemplos de variedades hiperkähler no compactas surgen como espacios de módulos de soluciones a ciertas ecuaciones de la teoría de gauge que surgen de la reducción dimensional de las ecuaciones duales de Yang-Mills anti-yo : espacios de módulo instantáneo, espacios de módulo monopolo, espacios de soluciones a las de Nigel Hitchin . ecuaciones de auto-dualidad en superficies de Riemann , espacio de soluciones a ecuaciones de Nahm . Otra clase de ejemplos son las variedades de carcaj de Nakajima , que son de gran importancia en la teoría de la representación.
Cohomología
Kurnosov, Soldatenkov & Verbitsky (2019) muestran que la cohomología de cualquier variedad hiperkähler compacta se incrusta en la cohomología de un toro, de una manera que preserva la estructura de Hodge .
Ver también
enlaces externos
- Dunajski, Maciej; Mason, Lionel J. (2000), "Jerarquías de Hyper-Kähler y su teoría de twistor", Communications in Mathematical Physics , 213 (3): 641–672, arXiv : math / 0001008 , Bibcode : 2000CMaPh.213..641D , doi : 10.1007 / PL00005532 , MR 1785432 , S2CID 17884816
- Kieran G. O'Grady, (2011) " Análogos de dimensiones superiores de las superficies K3 " . MR2931873
- Hitchin, Nigel (1991-1992), "Hyperkähler manifolds" , Séminaire N. Bourbaki , 34 (Charla núm. 748): 137-166, MR 1206066
- Kurnosov, Nikon; Soldatenkov, Andrey; Verbitsky, Misha (2019), "Kuga-Satake construction and cohomology of hyperkähler manifolds", Advances in Mathematics , 351 : 275-295, arXiv : 1703.07477 , doi : 10.1016 / j.aim.2019.04.060 , MR 3952121 , S2CID 119124485