En matemáticas , el teorema del índice Hodge para una superficie algebraica V determina la firma del emparejamiento intersección en la curvas algebraicas C en V . Dice, en términos generales, que el espacio atravesado por tales curvas (hasta la equivalencia lineal ) tiene un subespacio unidimensional en el que es positivo definido (no determinado de forma única), y se descompone como una suma directa de algún subespacio unidimensional. , y un subespacio complementario en el que es definida negativa .
En una declaración más formal, especifique que V es una superficie proyectiva no singular , y sea H la clase divisoria en V de una sección de hiperplano de V en una incrustación proyectiva dada . Entonces la intersección
donde d es el grado de V (en esa incrustación). Sea D el espacio vectorial de las clases de divisores racionales en V , hasta la equivalencia algebraica . La dimensión de D es finita y generalmente se denota por ρ ( V ). El teorema del índice de Hodge dice que el subespacio generado por H en D tiene un subespacio complementario en el que el emparejamiento de intersección es definido negativo. Por lo tanto, la firma (a menudo también llamada índice ) es (1, ρ ( V ) -1).
El grupo abeliano de clases divisorias hasta la equivalencia algebraica se llama ahora grupo Néron-Severi ; se sabe que es un grupo abeliano generado finitamente , y el resultado se refiere a su producto tensorial con el campo de números racionales. Por lo tanto, ρ ( V ) es igualmente el rango del grupo Néron-Severi (que puede tener un subgrupo de torsión no trivial , en ocasiones).
Este resultado fue probado en la década de 1930 por WVD Hodge , para variedades sobre números complejos, después de haber sido una conjetura durante algún tiempo de la escuela italiana de geometría algebraica (en particular, Francesco Severi , quien en este caso demostró que ρ <∞ ). Los métodos de Hodge fueron los topológicos introducidos por Lefschetz . El resultado es válido para campos generales ( algebraicamente cerrados ).