variedad proyectiva
En geometría algebraica , una variedad proyectiva sobre un campo algebraicamente cerrado k es un subconjunto de algún n -espacio proyectivo sobre k que es el lugar cero de alguna familia finita de polinomios homogéneos de n + 1 variables con coeficientes en k , que generan un primer ideal , el ideal definitorio de la variedad. De manera equivalente, una variedad algebraica es proyectiva si puede incorporarse como una subvariedad cerrada de Zariski de .
Una variedad proyectiva es una curva proyectiva si su dimensión es uno; es una superficie proyectiva si su dimensión es dos; es una hipersuperficie proyectiva si su dimensión es uno menos que la dimensión del espacio proyectivo que la contiene; en este caso es el conjunto de ceros de un solo polinomio homogéneo .
se llama el anillo de coordenadas homogéneo de X . Las invariantes básicas de X , como el grado y la dimensión , se pueden leer en el polinomio de Hilbert de este anillo graduado .
Las variedades proyectivas surgen de muchas maneras. Están completos , lo que a grandes rasgos se puede expresar diciendo que no hay puntos "faltantes". Lo contrario no es cierto en general, pero el lema de Chow describe la estrecha relación de estas dos nociones. Demostrar que una variedad es proyectiva se hace estudiando paquetes de líneas o divisores en X .
Una característica destacada de las variedades proyectivas son las restricciones de finitud en la cohomología de la gavilla. Para variedades proyectivas suaves, la dualidad de Serre puede verse como un análogo de la dualidad de Poincaré . También conduce al teorema de Riemann-Roch para curvas proyectivas, es decir, variedades proyectivas de dimensión 1. La teoría de las curvas proyectivas es particularmente rica, incluyendo una clasificación por el género de la curva. El programa de clasificación para variedades proyectivas de dimensiones superiores conduce naturalmente a la construcción de módulos de variedades proyectivas. [1] Los esquemas de Hilbert parametrizan subesquemas cerrados con polinomio de Hilbert prescrito. esquemas de Hilbert, de los cualesLos grassmannianos son casos especiales, también son esquemas proyectivos por derecho propio. La teoría de la invariante geométrica ofrece otro enfoque. Los enfoques clásicos incluyen el espacio Teichmüller y las variedades Chow .
Una teoría particularmente rica, que se remonta a los clásicos, está disponible para variedades proyectivas complejas, es decir, cuando los polinomios que definen X tienen coeficientes complejos . En términos generales, el principio GAGA dice que la geometría de los espacios analíticos complejos proyectivos (o variedades) es equivalente a la geometría de las variedades complejas proyectivas. Por ejemplo, la teoría de haces vectoriales holomorfos (más generalmente haces analíticos coherentes ) en X coincide con la de haces vectoriales algebraicos. teorema de chowdice que un subconjunto del espacio proyectivo es el lugar geométrico cero de una familia de funciones holomorfas si y solo si es el lugar geométrico cero de polinomios homogéneos. La combinación de métodos analíticos y algebraicos para variedades proyectivas complejas conduce a áreas como la teoría de Hodge .
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