Divisor (geometría algebraica)
En geometría algebraica , los divisores son una generalización de subvariedades de codimensión -1 de variedades algebraicas . Dos generalizaciones diferentes son de uso común, divisores de Cartier y divisores de Weil (nombrados así por Pierre Cartier y André Weil por David Mumford ). Ambos se derivan en última instancia de la noción de divisibilidad en los campos de números enteros y algebraicos .
El trasfondo es que las subvariedades de codimensión 1 se entienden mucho mejor que las subvariedades de codimensión superior. Esto sucede tanto de manera global como local. Globalmente, cada subvariedad de codimensión-1 del espacio proyectivo se define por la desaparición de un polinomio homogéneo ; por el contrario, una subvariedad de codimensión - r no necesita ser definible por solo r ecuaciones cuando r es mayor que 1. (Es decir, no toda subvariedad del espacio proyectivo es una intersección completa ). Localmente, cada subvariedad de codimensión-1 de una variedad suavese puede definir mediante una ecuación en una vecindad de cada punto. Nuevamente, la declaración análoga falla para las subvariedades de mayor codimensión. Como resultado de esta buena propiedad, gran parte de la geometría algebraica estudia una variedad arbitraria mediante el análisis de sus subvariedades de codimensión-1 y los haces de líneas correspondientes .
En variedades singulares, esta buena propiedad puede fallar, por lo que hay que distinguir entre subvariedades de codimensión 1 y variedades que pueden definirse localmente mediante una ecuación. Los primeros son divisores de Weil mientras que los segundos son divisores de Cartier. Topológicamente, los divisores de Weil desempeñan el papel de clases de homología , mientras que los divisores de Cartier representan clases de cohomología . En una variedad suave (o más generalmente en un esquema regular ), un resultado análogo a la dualidad de Poincaré dice que los divisores de Weil y Cartier son los mismos.
El nombre "divisor" se remonta al trabajo de Dedekind y Weber , quienes mostraron la relevancia de los dominios de Dedekind para el estudio de las curvas algebraicas . [1] El grupo de divisores en una curva (el grupo abeliano libre generado por todos los divisores) está estrechamente relacionado con el grupo de ideales fraccionarios para un dominio de Dedekind.
Un ciclo algebraico es una generalización de mayor codimensión de un divisor; por definición, un divisor de Weil es un ciclo de codimensión 1.
A Riemann superficie es un 1-dimensional colector complejo , y por lo que sus subvariedades codimensión-1 tienen dimensión 0. El grupo de divisores en un compacto Riemann superficie X es el grupo abeliano libre en los puntos de X .
