En la física de la materia condensada , la mariposa de Hofstadter describe las propiedades espectrales de los electrones bidimensionales que no interactúan en un campo magnético en una red . La naturaleza fractal y auto-similar del espectro fue descubierta en 1976 Ph.D. trabajo de Douglas Hofstadter [1] y es uno de los primeros ejemplos de gráficos por computadora. El nombre refleja el parecido visual de la figura de la derecha con un enjambre de mariposas volando hacia el infinito. [ cita requerida ]
La mariposa de Hofstadter juega un papel importante en la teoría del efecto Hall cuántico entero y la teoría de los números cuánticos topológicos .
Historia
La primera descripción matemática de electrones en una red 2D, sobre la que actúa un campo magnético homogéneo, fue estudiada por Rudolf Peierls y su alumno RG Harper en la década de 1950. [2] [3]
Hofstadter describió la estructura en 1976 en un artículo sobre los niveles de energía de los electrones de Bloch en campos magnéticos. [1] Ofrece una representación gráfica del espectro de la ecuación de Harper a diferentes frecuencias. La intrincada estructura matemática de este espectro fue descubierta de forma independiente por el físico soviético Mark Azbel en 1964 (el modelo de Azbel-Hofstadter), [4] pero Azbel no trazó la estructura como un objeto geométrico.
Escrito mientras Hofstadter estaba en la Universidad de Oregon , su artículo fue influyente en la dirección de futuras investigaciones. Predijo sobre bases teóricas que los valores permitidos del nivel de energía de un electrón en una red cuadrada bidimensional , en función de un campo magnético aplicado al sistema, formaban lo que ahora se conoce como un conjunto fractal . Es decir, la distribución de los niveles de energía para cambios a pequeña escala en el campo magnético aplicado repite de forma recursiva los patrones observados en la estructura a gran escala. [1] "Gplot", como Hofstadter llamó a la figura, fue descrita como una estructura recursiva en su artículo de 1976 en Physical Review B , [1] escrito antes de que la palabra recién acuñada "fractal" de Benoit Mandelbrot fuera introducida en un texto en inglés. Hofstadter también analiza la figura en su libro de 1979 Gödel, Escher, Bach . La estructura se conoció generalmente como "mariposa de Hofstadter".
David J. Thouless y su equipo descubrieron que las alas de la mariposa se caracterizan por números enteros de Chern , que proporcionan una forma de calcular la conductancia de Hall en el modelo de Hofstadter. [5]
Confirmación
En 1997, la mariposa Hofstadter se reprodujo en experimentos con una guía de microondas equipada con una serie de dispersores. [6] La similitud entre la descripción matemática de la guía de microondas con dispersores y las ondas de Bloch en el campo magnético permitió la reproducción de la mariposa Hofstadter para secuencias periódicas de los dispersores.
En 2001, Christian Albrecht, Klaus von Klitzing y sus compañeros de trabajo realizaron una configuración experimental para probar Thouless et al. predicciones sobre la mariposa de Hofstadter con un gas de electrones bidimensionales en un potencial supperreticular. [7] [2]
En 2013, tres grupos separados de investigadores informaron de forma independiente evidencia del espectro de la mariposa de Hofstadter en dispositivos de grafeno fabricados sobre sustratos de nitruro de boro hexagonal . [8] [9] [10] En este caso, el espectro mariposa resulta de la interacción entre el campo magnético aplicado y el patrón muaré a gran escala que se desarrolla cuando la red de grafeno se orienta con un desajuste de ángulo cercano al cero con el nitruro de boro.
En septiembre de 2017, el grupo de John Martinis en Google, en colaboración con el grupo Angelakis en CQT Singapur , publicó los resultados de una simulación de electrones 2D en un campo magnético utilizando fotones que interactúan en 9 qubits superconductores . La simulación recuperó la mariposa de Hofstadter, como se esperaba. [11]
Modelo teórico
En su artículo original, Hofstadter considera la siguiente derivación: [1] una partícula cuántica cargada en un retículo cuadrado bidimensional, con un espaciado de retículo, se describe mediante una ecuación de Schrödinger periódica , bajo un campo magnético estático homogéneo restringido a una sola banda de Bloch. Para una celosía cuadrada 2D, la relación de dispersión de energía de enlace estrecha es
- ,
dónde es la función de energía, es el impulso de cristal , yes un parámetro empírico. El campo magnetico, dónde el potencial del vector magnético , se puede tener en cuenta mediante la sustitución de Peierls , reemplazando el momento cristalino con el momento canónico, dónde es el operador del momento de la partícula y es la carga de la partícula ( para el electrón, es la carga elemental ). Por conveniencia, elegimos el calibre.
Usando eso es el operador de traducción , de modo que, dónde y es la función de onda bidimensional de la partícula . Uno puede usarcomo hamiltoniano efectivo para obtener la siguiente ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:
Teniendo en cuenta que la partícula solo puede saltar entre puntos en la red, escribimos , dónde son enteros. Hofstadter hace el siguiente ansatz :, dónde depende de la energía, para obtener la ecuación de Harper (también conocida como operador casi Mathieu para):
dónde y , es proporcional al flujo magnético a través de una celda de celosía y es el cuanto de flujo magnético . La relación de flujo también se puede expresar en términos de la longitud magnética , tal que . [1]
La mariposa de Hofstadter es la trama resultante de en función de la relación de flujo , dónde es el conjunto de todos los posibles que son una solución a la ecuación de Harper.
Soluciones a la ecuación de Harper y el tratamiento de Wannier
Debido a las propiedades de la función coseno, el patrón es periódico en con el período 1 (se repite para cada flujo cuántico por celda unitaria). El gráfico en la región deentre 0 y 1 tiene simetría de reflexión en las líneas y . [1] Tenga en cuenta queestá necesariamente delimitada entre -4 y 4. [1]
La ecuación de Harper tiene la propiedad particular de que las soluciones dependen de la racionalidad de . Al imponer la periodicidad sobre, se puede demostrar que si (un número racional ), donde y son números primos distintos , hay exactamentebandas de energía. [1] Para grandes, las bandas de energía convergen en bandas de energía delgadas correspondientes a los niveles de Landau .
Gregory Wannier demostró que teniendo en cuenta la densidad de estados , se puede obtener una ecuación diofántica que describe el sistema, [12] como
dónde
dónde y son enteros, y es la densidad de estados en un determinado . Aquícuenta el número de estados hasta la energía de Fermi , y corresponde a los niveles de la banda completamente llena (desde a ). Esta ecuación caracteriza todas las soluciones de la ecuación de Harper. Lo más importante es que se puede deducir que cuandoes un número irracional , hay infinitas soluciones para.
La unión de todos forma un fractal auto-similar que es discontinuo entre los valores racionales e irracionales de . Esta discontinuidad no es física y la continuidad se recupera para una incertidumbre finita en[1] o para celosías de tamaño finito. [13] La escala a la que se puede resolver la mariposa en un experimento real depende de las condiciones específicas del sistema. [2]
Diagrama de fases, conductancia y topología
El diagrama de fase de los electrones en una red cuadrada bidimensional, en función del campo magnético, el potencial químico y la temperatura, tiene infinitas fases. Thouless y colaboradores demostraron que cada fase se caracteriza por una conductancia Hall integral, donde se permiten todos los valores enteros. Estos números enteros se conocen como números de Chern . [2]
Referencias
- ↑ a b c d e f g h i j Hofstadter, Douglas R. (1976). "Niveles de energía y funciones de onda de los electrones de Bloch en campos magnéticos racionales e irracionales". Physical Review B . 14 (6): 2239–2249. Código Bibliográfico : 1976PhRvB..14.2239H . doi : 10.1103 / PhysRevB.14.2239 .
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