homotopía

En topología , una rama de las matemáticas , dos funciones continuas de un espacio topológico a otro se denominan homotópicas (del griego antiguo : ὁμός homós "igual, similar" y τόπος tópos "lugar") si una puede "deformarse continuamente" en la otra , tal deformación se denomina homotopía entre las dos funciones. Un uso notable de la homotopía es la definición de grupos de homotopía y grupos de cohomotopía , invariantes importantes en la topología algebraica . ^[1]

En la práctica, existen dificultades técnicas en el uso de homotopías con ciertos espacios. Los topólogos algebraicos trabajan con espacios generados de forma compacta , complejos CW o espectros .

Formalmente, una homotopía entre dos funciones continuas f y g de un espacio topológico X a un espacio topológico Y se define como una función continua del producto del espacio X con el intervalo unitario [0, 1] a Y tal que y para todos _ ${\displaystyle H:X\times [0,1]\to Y}$${\ estilo de visualización H (x, 0) = f (x)}$${\ estilo de visualización H (x, 1) = g (x)}$${\ estilo de visualización x \ en X}$

Si pensamos en el segundo parámetro de H como tiempo, entonces H describe una deformación continua de f en g : en el tiempo 0 tenemos la función f y en el tiempo 1 tenemos la función g . También podemos pensar en el segundo parámetro como un "control deslizante" que nos permite realizar una transición suave de f a g a medida que el control deslizante se mueve de 0 a 1, y viceversa.

Una notación alternativa es decir que una homotopía entre dos funciones continuas es una familia de funciones continuas para tal que y , y el mapa es continuo de a . Las dos versiones coinciden por ambientación . No es suficiente exigir que cada mapa sea continuo. ^[2]${\ estilo de visualización f, g: X \ a Y}$${\displaystyle h_{t}:X\a Y}$${\ estilo de visualización t \ en [0,1]}$${\ estilo de visualización h_ {0} = f}$${\ estilo de visualización h_ {1} = g}$ ${\displaystyle (x,t)\mapsto h_{t}(x)}$${\ estilo de visualización X \ veces [0,1]}$${\ estilo de visualización Y}$${\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)}$${\ estilo de visualización h_ {t} (x)}$

Los dos caminos discontinuos que se muestran arriba son homotópicos en relación con sus puntos finales. La animación representa una posible homotopía.

Una homotopía entre dos incrustaciones del toro en R ³ : como "la superficie de una dona" y como "la superficie de una taza de café". Este es también un ejemplo de una isotopía .

El desanudado no es equivalente al nudo de trébol ya que uno no puede deformarse en el otro a través de un camino continuo de homeomorfismos del espacio ambiental. Por lo tanto, no son isotópicos ambientales.