Cono de mapeo (topología)

En matemáticas , especialmente en la teoría de la homotopía , el cono de mapeo es una construcción de topología , análoga a un espacio cociente . También se le llama cofiber homotópico y también se anota . Su dual, una fibración , se llama fibra cartográfica . El cono de mapeo puede entenderse como un cilindro de mapeo , con un extremo del cilindro colapsado en un punto. Por lo tanto, los conos de mapeo se aplican con frecuencia en la teoría de homotopía de espacios puntiagudos .${\ Displaystyle C_ {f}}$${\ Displaystyle Cf}$ ${\ Displaystyle Mf}$

Dado un mapa , el cono de mapeo se define como el espacio cociente del cilindro de mapeo con respecto a la relación de equivalencia ,. Aquí denota el intervalo unitario [0, 1] con su topología estándar . Tenga en cuenta que algunos autores (como J. Peter May ) utilizan la convención opuesta, cambiando 0 y 1.${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$${\ Displaystyle C_ {f}}$ ${\ Displaystyle (X \ times I) \ sqcup _ {f} Y}$ ${\ Displaystyle \ forall x, x '\ in X, (x, 0) \ sim \ left (x', 0 \ right) \,}$${\ Displaystyle (x, 1) \ sim f (x)}$${\ Displaystyle I}$

Visualmente, se toma el cono en X (el cilindro con un extremo (el extremo 0) identificado en un punto) y se pega el otro extremo en Y a través del mapa f (la identificación del extremo 1).${\ Displaystyle X \ times I}$

Aproximadamente, uno está tomando el espacio del cociente por la imagen de X , entonces ; esto no es precisamente correcto debido a cuestiones de conjunto de puntos, pero es la filosofía, y se hace preciso por resultados tales como la homología de un par y la noción de un mapa n - conectado .${\ Displaystyle C_ {f} = Y / f (X)}$

Una ilustración de un cono de mapeo; es decir, un cono se pega a un espacio a lo largo de alguna función .${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$