En matemáticas , especialmente en la teoría de la homotopía , la fibra de homotopía (a veces llamada fibra de mapeo ) [1] es parte de una construcción que asocia una fibración a una función continua arbitraria de espacios topológicos. . Actúa como un núcleo teórico de homotopía de un mapeo de espacios topológicos debido al hecho de que produce una secuencia larga y exacta de grupos de homotopía.
Además, la fibra de homotopía se puede encontrar en otros contextos, como el álgebra homológica, donde el triángulo distinguido
da una secuencia larga exacta análoga a la secuencia larga exacta de grupos de homotopía. Hay una construcción dual llamada cofre homotópico .
Construcción
La fibra homotopía tiene una descripción simple para un mapa continuo. . Si reemplazamospor una fibración, entonces la fibra homotopía es simplemente la fibra de la fibración de reemplazo. Recordamos esta construcción de reemplazar un mapa por una fibración:
Dado un mapa de este tipo, podemos reemplazarlo con una fibración definiendo el espacio de la ruta de mapeo ser el conjunto de parejas dónde y (por ) un camino tal que . Damos una topología dándole la topología subespacial como un subconjunto de (dónde es el espacio de caminos en que como espacio funcional tiene la topología compacta-abierta ). Entonces el mapa dada por es una fibración. Además,es homotopía equivalente a de la siguiente manera: Insertar como un subespacio de por dónde es el camino constante en . Luego la deformación se retrae a este subespacio al contraer los caminos.
La fibra de esta fibración (que solo está bien definida hasta la equivalencia de homotopía) es la fibra de homotopía
que se puede definir como el conjunto de todos con y un camino tal que y para algún punto base fijo .
Como límite de homotopía
Otra forma de construir la fibra de homotopía de un mapa es considerar el límite de homotopía [2] pág. 21 del diagrama
esto se debe a que calcular el límite de homotopía equivale a encontrar el retroceso del diagrama
donde el mapa vertical es el mapa de origen y destino de una ruta , entonces
Esto significa que el límite de homotopía está en la colección de mapas.
que es exactamente la fibra homotopía definida anteriormente.
Propiedades
Fibra de homotopía de una fibración
En el caso especial de que el mapa original era una fibracion con fibra , entonces la equivalencia de homotopía dado arriba será un mapa de fibraciones sobre . Esto inducirá un morfismo de sus largas secuencias exactas de grupos de homotopía , de las cuales (aplicando el Lema de los Cinco , como se hace en la secuencia de Puppe ) se puede ver que el mapa F → F f es una equivalencia débil . Por lo tanto, la construcción dada anteriormente reproduce el mismo tipo de homotopía si ya existe.
Dualidad con cono de mapeo
La fibra de homotopía es dual con el cono de mapeo , al igual que el espacio de la ruta de mapeo es dual con el cilindro de mapeo . [3]
Ejemplos de
Espacio de bucle
Dado un espacio topológico y la inclusión de un punto
la fibra de homotopía de este mapa es entonces
cual es el espacio del bucle .
De un espacio de cobertura
Dada una cobertura universal
la fibra homotopia tiene la propiedad
que puede verse observando la larga secuencia exacta de los grupos de homotopía para la fibración. Esto se analiza más abajo mirando la torre Whitehead.
Aplicaciones
Torre Postnikov
Una aplicación principal de la fibra homotópica es la construcción de la torre Postnikov . Para un espacio topológico (bastante agradable), podemos construir una secuencia de espacios y mapas dónde
y
Ahora, estos mapas se puede construir iterativamente utilizando fibras homotópicas . Esto es porque podemos tomar un mapa.
representando una clase de cohomología en
y construir la fibra de homotopía
Además, observe la fibra homotopía de es
mostrando que la fibra de homotopía actúa como un núcleo teórico de la homotopía. Tenga en cuenta que este hecho se puede demostrar observando la larga secuencia exacta de la fibración que construye la fibra homotópica.
. . . . . . === Mapas de la torre Whitehead ===
La noción dual de la torre Postnikov es la torre Whitehead que da una secuencia de espacios y mapas dónde
por eso . Si tomamos el mapa inducido
la fibra de homotopía de este mapa recupera la -a aproximación postnikov ya que la larga secuencia exacta de la fibración
obtenemos
que da isomorfismos
por .
Ver también
Referencias
- ^ Joseph J. Rotman, Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (Consulte el capítulo 11 para la construcción).
- ^ Dugger, Daniel. "Una introducción a los colímites de homotopía" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 3 de diciembre de 2020.
- ^ JP May, Un curso conciso en topología algebraica , (1999) Conferencias de matemáticas en Chicago ISBN 0-226-51183-9 (Véanse los capítulos 6, 7).
- Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.