En matemáticas , específicamente en topología algebraica , el cilindro de mapeo [1] de una función continua entre espacios topológicos y es el cociente
donde el denota la unión disjunta , y ∼ es la relación de equivalencia generada por
Es decir, el cilindro de mapeo se obtiene pegando un extremo de a a través del mapa . Observe que la "parte superior" del cilindroes homeomorfo a, mientras que el "fondo" es el espacio . Es común escribir por , y para usar la notación o para la construcción del cilindro de mapeo. Es decir, uno escribe
con el símbolo de copa con subíndice indicando la equivalencia. El cilindro de mapeo se usa comúnmente para construir el cono de mapeo. , obtenido al colapsar un extremo del cilindro en un punto. Los cilindros de mapeo son fundamentales para la definición de cofibraciones .
Propiedades básicas
La parte inferior Y es una deformación retraída de. La proyección divisiones ), y la retracción de la deformación es dado por:
(donde apunta en permanecer fijo porque para todos ).
El mapa es una equivalencia de homotopía si y solo si el "top" es una fuerte deformación retraer . [2] Se puede elaborar una fórmula explícita para la retracción por deformación fuerte. [3]
Ejemplos de
Cilindro de mapeo de un haz de fibras
Para un haz de fibras con fibra , el cilindro de mapeo
tiene la relación de equivalencia
por . Luego, hay un mapa canónico que envía un punto al punto , dando un haz de fibras
cuya fibra es el cono . Para ver esto, observe la fibra sobre un punto. es el espacio del cociente
donde cada punto en es equivalente.
Interpretación
El cilindro de mapeo puede verse como una forma de reemplazar un mapa arbitrario por una cofibración equivalente , en el siguiente sentido:
Dado un mapa , el cilindro de mapeo es un espacio , junto con una cofibracióny una equivalencia de homotopía sobreyectiva (de hecho, Y es una deformación retraída de), de modo que la composición es igual a f .
Por lo tanto, el espacio Y se reemplaza con un espacio equivalente de homotopía., y el mapa f con un mapa elevado. De manera equivalente, el diagrama
se reemplaza con un diagrama
junto con una equivalencia de homotopía entre ellos.
La construcción sirve para reemplazar cualquier mapa de espacios topológicos por una cofibración equivalente de homotopía.
Tenga en cuenta que puntualmente, una cofibración es una inclusión cerrada .
Aplicaciones
Los cilindros de mapeo son herramientas homotópicas bastante comunes. Un uso de los cilindros de mapeo es aplicar teoremas sobre inclusiones de espacios a mapas generales, que pueden no ser inyectivos .
En consecuencia, los teoremas o técnicas (como la homología , la cohomología o la teoría de la homotopía ) que solo dependen de la clase de homotopía de espacios y mapas involucrados pueden aplicarse a con el supuesto de que y eso es en realidad la inclusión de un subespacio .
Otro atractivo más intuitivo de la construcción es que concuerda con la imagen mental habitual de una función como puntos "emisores" de a puntos de y por lo tanto de incrustar dentro a pesar de que la función no tiene por qué ser uno a uno.
Aplicación e interpretación categórica
Se puede usar el cilindro de mapeo para construir colímites de homotopía : [ cita requerida ] esto se desprende de la declaración general de que cualquier categoría con todos los empujes y coequalizadores tiene todos los colímites . Es decir, dado un diagrama, reemplace los mapas por cofibraciones (usando el cilindro de mapeo) y luego tome el límite puntual ordinario (hay que tener un poco más de cuidado, pero los cilindros de mapeo son un componente).
Por el contrario, el cilindro de mapeo es el empuje de homotopía del diagrama donde y .
Telescopio cartográfico
Dada una secuencia de mapas
el telescopio cartográfico es el límite directo homotópico . Si los mapas ya son cofibraciones (como para los grupos ortogonales ), entonces el límite directo es la unión, pero en general se debe utilizar el telescopio cartográfico. El telescopio cartográfico es una secuencia de cilindros cartográficos, unidos de un extremo a otro. La imagen de la construcción parece una pila de cilindros cada vez más grandes, como un telescopio.
Formalmente, uno lo define como
Ver también
Referencias
- ^ Hatcher, Allen (2003). Topología algebraica . Cambridge: Universidad de Cambridge. Pr. pag. 2 . ISBN 0-521-79540-0.
- ^ Hatcher, Allen (2003). Topología algebraica . Cambridge: Universidad de Cambridge. Pr. pag. 15 . ISBN 0-521-79540-0.
- ^ Aguado, Alex. "Una breve nota sobre el mapeo de cilindros". arXiv : 1206.1277 [ matemáticas.AT ].
- Mayo, JP (1999). Un curso conciso en topología algebraica . Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 978-0-2265-1183-2.