En matemáticas , en el área de la topología algebraica , la propiedad de extensión de homotopía indica qué homotopías definidas en un subespacio pueden extenderse a una homotopía definida en un espacio mayor. La propiedad de extensión de la homotopía de las cofibraciones es dual con la propiedad de elevación de la homotopía que se utiliza para definir las fibraciones .
Definición
Dejar ser un espacio topológico , y dejar. Decimos que la parejatiene la propiedad de extensión de homotopía si, dada una homotopía y un mapa tal que , existe una extensión de a una homotopia tal que . [1]
Es decir, la pareja tiene la propiedad de extensión de homotopía si hay algún mapa se puede ampliar a un mapa (es decir y acordar su dominio común).
Si el par tiene esta propiedad solo para un determinado codominio , Nosotros decimos eso tiene la propiedad de extensión de homotopía con respecto a .
Visualización
La propiedad de extensión de homotopía se muestra en el siguiente diagrama.
Si el diagrama anterior (sin el mapa punteado) conmuta (esto es equivalente a las condiciones anteriores), entonces el par (X, A) tiene la propiedad de extensión de homotopía si existe un mapa lo que hace que el diagrama se mueva. Al curry , tenga en cuenta que un mapa es lo mismo que un mapa .
Tenga en cuenta que este diagrama es dual (opuesto a) el de la propiedad de elevación de homotopía ; esta dualidad se conoce vagamente como dualidad Eckmann-Hilton .
Propiedades
- Si es un complejo celular y es un subcomplejo de , luego el par tiene la propiedad de extensión de homotopía.
- Un par tiene la propiedad de extensión de homotopía si y solo si es una retractación de
Otro
Si tiene la propiedad de extensión de homotopía, luego el mapa de inclusión simple es una cofibración .
De hecho, si considera alguna cofibración , entonces tenemos eso es homeomorfo a su imagen bajo. Esto implica que cualquier cofibración puede tratarse como un mapa de inclusión y, por lo tanto, puede tratarse como si tuviera la propiedad de extensión de homotopía.
Ver también
Referencias
- Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-79540-0.
- "Propiedad de extensión de homotopía" . PlanetMath .