En matemáticas , en particular en la teoría de homotopía dentro de la topología algebraica , la propiedad de elevación de la homotopía (también conocida como una instancia de la propiedad de elevación correcta o el axioma de homotopía de cobertura ) es una condición técnica en una función continua desde un espacio topológico E a otro B . Está diseñado para apoyar la imagen de E "por encima" B al permitir una homotopía que tiene lugar en B para ser movido "arriba" a E .
Por ejemplo, un mapa de cobertura tiene una propiedad de elevación local única de caminos a una hoja determinada; la singularidad se debe a que las fibras de un mapa de cobertura son espacios discretos . La propiedad de elevación de homotopía se mantendrá en muchas situaciones, como la proyección en un haz de vectores , haz de fibras o fibración , donde no es necesario que exista una forma única de elevación.
Definicion formal
Supongamos que a partir de ahora todos los mapas son funciones continuas de un espacio topológico a otro. Dado un mapay un espacio , uno dice que tiene la propiedad de elevación de homotopía, [1] [2] o que tiene la propiedad de elevación de homotopía con respecto a , Si:
- para cualquier homotopía , y
- para cualquier mapa levantamiento (es decir, para que ),
existe una homotopia levantamiento (es decir, para que ) que también satisface .
El siguiente diagrama muestra esta situación.
El cuadrado exterior (sin la flecha punteada) conmuta si y solo si las hipótesis de la propiedad de elevación son verdaderas. Un levantamientocorresponde a una flecha punteada que hace que el diagrama cambie. Este diagrama es dual al de la propiedad de extensión de homotopía ; esta dualidad se conoce vagamente como dualidad Eckmann-Hilton .
Si el mapa satisface la propiedad de elevación de homotopía con respecto a todos los espacios X , entoncesse llama fibración , o algunas veces simplemente se dice quetiene la propiedad de elevación de homotopía .
Nótese que esta es la definición de fibración en el sentido de Witold Hurewicz , que es más restrictiva que fibración en el sentido de Jean-Pierre Serre , para la cual el levantamiento de homotopía solo paraSe requiere un complejo CW .
Generalización: propiedad de extensión de elevación de homotopía
Existe una generalización común de la propiedad de elevación de homotopía y la propiedad de extensión de homotopía . Dado un par de espacios, por simplicidad denotamos . Dado adicionalmente un mapa, uno dice que tiene la propiedad de extensión de elevación de homotopía si:
- Para cualquier homotopía , y
- Para cualquier levantamiento de ,
existe una homotopia Que cubre (es decir, tal que ) y se extiende (es decir, tal que ).
La propiedad de elevación de homotopía de se obtiene tomando , así que eso arriba es simplemente .
La propiedad de extensión de homotopía de se obtiene tomando ser un mapa constante, de modo que es irrelevante en el sentido de que cada mapa a E es trivialmente la elevación de un mapa constante al punto de imagen de.
Ver también
Notas
- ^ Hu, Sze-Tsen (1959). Teoría de la homotopía . página 24
- ^ Husemoller, Dale (1994). Paquetes de fibra . página 7
Referencias
- Steenrod, Norman (1951). La topología de los paquetes de fibra . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-00548-6.
- Hu, Sze-Tsen (1959). Teoría de la homotopía (Tercera impresión, edición de 1965). Nueva York: Academic Press Inc. ISBN 0-12-358450-7.
- Husemoller, Dale (1994). Paquetes de fibra (Tercera ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8.
- Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.
enlaces externos
- AV Chernavskii (2001) [1994], "Covering homotopy" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- propiedad de elevación de homotopía en nLab