En las disciplinas matemáticas de la topología algebraica y la teoría de la homotopía , la dualidad Eckmann-Hilton en su forma más básica, consiste en tomar un diagrama dado para un concepto particular e invertir la dirección de todas las flechas, como en la teoría de categorías con la idea de lo contrario. categoría . Una forma significativamente más profunda sostiene que el hecho de que la noción dual de un límite sea un colimit nos permite cambiar los axiomas de Eilenberg-Steenrod por homología para dar axiomas por cohomología . Lleva el nombre de Beno Eckmann yPeter Hilton .
Discusión
Un ejemplo lo da el curry , que nos dice que para cualquier objeto, un mapa es lo mismo que un mapa , dónde es el objeto exponencial , dado por todos los mapas de a . En el caso de los espacios topológicos , si tomamos ser el intervalo unitario, esto conduce a una dualidad entre y , que luego da una dualidad entre la suspensión reducida , que es un cociente de y el espacio de bucle , que es un subespacio de . Esto luego conduce a la relación adjunta , que permite el estudio de espectros , que dan lugar a teorías de cohomología .
También podemos relacionar directamente fibraciones y cofibraciones : una fibraciónse define por tener la propiedad de elevación de homotopía , representada por el siguiente diagrama
y una cofibración se define por tener la propiedad de extensión de homotopía dual , representada dualizando el diagrama anterior:
Las consideraciones anteriores también se aplican cuando se observan las secuencias asociadas a una fibración o una cofibración, como una fibración dada. obtenemos la secuencia
y dado una cofibración obtenemos la secuencia
y más en general, la dualidad entre las secuencias Puppe exactas y coexactas .
Esto también nos permite relacionar homotopía y cohomología: sabemos que los grupos de homotopía son clases de homotopía de mapas de la n -esfera a nuestro espacio, escrito, y sabemos que la esfera tiene un solo grupo de cohomología distinto de cero (reducido) . Por otro lado, los grupos de cohomología son clases de homotopía de mapas a espacios con un solo grupo de homotopía distinto de cero. Esto viene dado por los espacios Eilenberg – MacLane y la relación
Una formalización de las relaciones informales anteriores viene dada por la dualidad de Fuks . [1]
Ver también
Referencias
- Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.
- "Dualidad Eckmann-Hilton" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]