Objeto grupoide

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En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas, un objeto grupoide en una categoría C que admite productos de fibra finitos es un par de objetos junto con cinco morfismos que satisfacen los siguientes axiomas grupoides${\ Displaystyle R, U}$ ${\ Displaystyle s, t: R \ a U, \ e: U \ a R, \ m: R \ veces _ {U, t, s} R \ a R, \ i: R \ a R}$

Ejemplo : un objeto grupoide en la categoría de conjuntos es precisamente un grupoide en el sentido habitual: una categoría en la que todo morfismo es un isomorfismo. De hecho, dada una categoría tal C , tomar U para ser el conjunto de todos los objetos de C , R el conjunto de todas las flechas en C , los cinco morfismos dadas por , , y .${\ Displaystyle s (x \ a y) = x, \, t (x \ a y) = y}$${\ Displaystyle m (f, g) = g \ circ f}$${\ Displaystyle e (x) = 1_ {x}}$${\ Displaystyle i (f) = f ^ {- 1}}$

Por cierto, se puede considerar una noción de semigrupoide (semigrupo unital = una categoría con un solo objeto); pero, según este ejemplo, eso no es más que una categoría; por lo que un objeto groupoid es realmente un caso especial de un "objeto de categoría", más conocido como pila (o apilamiento previo ).

Un esquema S grupoide es un objeto grupoide en la categoría de esquemas sobre algún esquema S de base fija . Si , entonces un esquema grupal (donde está necesariamente el mapa de estructura) es lo mismo que un esquema grupal . Un esquema grupoide también se denomina grupoide algebraico , por ejemplo en ( Gillet 1984 ) , para transmitir la idea de que es una generalización de grupos algebraicos y sus acciones. Cuando el término "grupoide" puede referirse naturalmente a un objeto grupoide en alguna categoría particular en mente, el término conjunto grupoide se usa para referirse a un objeto grupoide en la categoría de conjuntos.${\ Displaystyle U = S}$${\ Displaystyle s = t}$error de harv: sin destino: CITEREFGillet1984 ( ayuda )

Ejemplo : Supongamos que un grupo algebraico G actúa desde la derecha en un esquema de U . Luego tome , s la proyección, t la acción dada. Esto determina un esquema grupoide.${\ Displaystyle R = U \ times G}$

Dado un objeto grupoide ( R , U ), el ecualizador de , si lo hay, es un objeto grupal llamado grupo de inercia del grupoide. El coequalizador del mismo diagrama, si lo hay, es el cociente del grupoide.${\ displaystyle R {\ overset {s} {\ underset {t} {\ rightrightarrows}}} U}$

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