Superficie Hopf

En geometría compleja , una superficie de Hopf es una superficie compleja compacta obtenida como un cociente del espacio vectorial complejo (con cero eliminado) por una acción libre de un grupo discreto. Si este grupo son los números enteros, la superficie de Hopf se llama primaria , de lo contrario, se llama secundaria . (Algunos autores usan el término "superficie de Hopf" para significar "superficie de Hopf primaria".) El primer ejemplo fue encontrado por Heinz Hopf ( 1948 ), con el grupo discreto isomorfo a los enteros, con un generador que actúa multiplicando por 2; Este fue el primer ejemplo de una superficie compleja compacta sin métrica de Kähler . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2} \ setminus \ {0 \}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

Los análogos de dimensiones superiores de las superficies de Hopf se denominan variedades de Hopf .

Invariantes

Las superficies Hopf son superficies de clase VII y en particular todas tienen dimensión Kodaira , y toda su plurigenera se desvanece. El género geométrico es 0. El grupo fundamental tiene un subgrupo cíclico infinito central normal de índice finito. El diamante Hodge es ${\ Displaystyle - \ infty}$

		1
	0		1
0		0		0
	1		0
		1

En particular, el primer número Betti es 1 y el segundo número Betti es 0. A la inversa, Kunihiko Kodaira ( 1968 ) mostró que una superficie compleja compacta con la desaparición del segundo número Betti y cuyo grupo fundamental contiene un subgrupo cíclico infinito de índice finito es una superficie Hopf. .

Superficies primarias de Hopf

En el curso de la clasificación de superficies complejas compactas , Kodaira clasificó las superficies principales de Hopf.

Una superficie de Hopf primaria se obtiene como

{\ Displaystyle H = {\ Big (} \ mathbb {C} ^ {2} \ setminus \ {0 \} {\ Big)} / \ Gamma,}

donde es un grupo generado por una contracción polinomial . Kodaira ha encontrado una forma normal de . En las coordenadas apropiadas, se puede escribir como ${\ Displaystyle \ Gamma}$ ${\ Displaystyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle \ gamma}$

{\ Displaystyle (x, y) \ mapsto (\ alpha x + \ lambda y ^ {n}, \ beta y)}

donde son satisfactorios los números complejos y o bien . ${\ Displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {C}}$ $0<|\alpha |\leq |\beta |<1$ $\lambda =0$ $\alpha =\beta ^{n}$

Estas superficies contienen una curva elíptica (la imagen del eje x ) y si la imagen del eje y es una segunda curva elíptica. Cuando , la superficie Hopf es un espacio fibra elíptica sobre la línea proyectiva si para algunos números enteros positivos m y n , con el mapa a la línea proyectiva dado por , y de otra manera las únicas curvas son las dos imágenes de los ejes. $\lambda =0$ $\lambda =0$ $\alpha ^{m}=\beta ^{n}$ $(x,y)\mapsto x^{m}y^{-n}$

El grupo Picard de cualquier superficie Hopf primaria es isomorfo a los números complejos distintos de cero . $\mathbb {C} ^{*}$

Kodaira (1966b) ha demostrado que una superficie compleja es difeomórfica si y solo si es una superficie primaria de Hopf. $S^{3}\times S^{1}$

Superficies Hopf secundarias

Cualquier superficie Hopf secundaria tiene una cubierta no ramificada finita que es una superficie Hopf primaria. De manera equivalente, su grupo fundamental tiene un subgrupo de índice finito en su centro que es isomorfo a los enteros. Masahido Kato ( 1975 ) los clasificó al encontrar los grupos finitos que actúan sin puntos fijos en las superficies primarias de Hopf.

Se pueden construir muchos ejemplos de superficies Hopf secundarias con el espacio subyacente como producto de las formas de un espacio esférico y un círculo.

Referencias

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