En matemáticas , un grupo de Hopfian es un grupo G para el cual todo epimorfismo
- G → G
es un isomorfismo . De manera equivalente, un grupo es hopfiano si y solo si no es isomorfo a ninguno de sus cocientes propios . Un grupo G es co-hopfiano si cada monomorfismo
- G → G
es un isomorfismo. De manera equivalente, G no es isomorfo a ninguno de sus subgrupos adecuados .
Ejemplos de grupos Hopfian
- Cada grupo finito , por un argumento de conteo elemental.
- De manera más general, cada grupo policíclico por finito .
- Cualquier grupo libre generado de forma finita .
- El grupo Q de racionales .
- Cualquier grupo residualmente finito generado de forma finita .
- Cualquier grupo hiperbólico de palabras sin torsión .
Ejemplos de grupos no hopfianos
- Grupos cuasicíclicos .
- El grupo R de números reales .
- El grupo Baumslag-Solitar B (2,3).
Propiedades
Collins (1969) demostró que es un problema indecidible determinar, dada una presentación finita de un grupo, si el grupo es hopfiano. A diferencia de la indecidibilidad de muchas propiedades de los grupos, esto no es una consecuencia del teorema de Adian-Rabin , porque Hopficity no es una propiedad de Markov, como lo demostraron Miller y Schupp (1971) .
Referencias
- DL Johnson (1990). Presentaciones de grupos . Textos estudiantiles de la London Mathematical Society. 15 . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 35. ISBN 0-521-37203-8.
- Collins, DJ (1969). "Sobre el reconocimiento de los grupos Hopf". Archiv der Mathematik . 20 (3): 235. doi : 10.1007 / BF01899291 .
- Miller, CF; Schupp, PE (1971). "Incrustaciones en grupos hopfianos" . Revista de álgebra . 17 (2): 171. doi : 10.1016 / 0021-8693 (71) 90028-7 .
enlaces externos
- Grupo Hopfian en PlanetMath .
- Grupo Non-Hopf en la Enciclopedia de Matemáticas