En matemáticas , un grupo policíclico es un grupo soluble que satisface la condición máxima de los subgrupos (es decir, cada subgrupo se genera finitamente ). Los grupos policíclicos se presentan de forma finita , lo que los hace interesantes desde el punto de vista computacional.
De manera equivalente, un grupo G es policíclico si y sólo si admite una serie subnormal con factores cíclicos, es decir un conjunto finito de subgrupos, digamos G 0 , ..., G n tal que
Un grupo metacíclico es un grupo policíclico con n ≤ 2, o en otras palabras, una extensión de un grupo cíclico por un grupo cíclico.
Los ejemplos de grupos policíclicos incluyen grupos abelianos generados finitamente, grupos nilpotentes generados finitamente y grupos solubles finitos. Anatoly Maltsev demostró que los subgrupos solubles del grupo lineal general entero son policíclicos; y más tarde Louis Auslander (1967) y Swan demostraron lo contrario, que cualquier grupo policíclico es hasta el isomorfismo de un grupo de matrices enteras. [1] El holomorfo de un grupo policíclico también es un grupo de matrices enteras. [2]
Se dice que un grupo policíclico G es fuertemente policíclico si cada cociente G i +1 / G i es infinito. Cualquier subgrupo de un grupo fuertemente policíclico es fuertemente policíclico.
Un grupo virtualmente policíclico es un grupo que tiene un subgrupo policíclico de índice finito , un ejemplo de una propiedad virtual . Dicho grupo necesariamente tiene un subgrupo policíclico normal de índice finito y, por lo tanto, dichos grupos también se denominan grupos policíclicos por finitos . Aunque los grupos policíclicos por finitos no necesitan ser solubles, todavía tienen muchas de las propiedades de finitud de los grupos policíclicos; por ejemplo, satisfacen la condición máxima, y son finitos y residualmente finitos .