En el campo matemático de la teoría de grupos , un grupo G es residualmente finito o finitamente aproximado si por cada elemento g que no es la identidad en G hay un homomorfismo h de G a un grupo finito, tal que
Hay varias definiciones equivalentes:
- Un grupo es residualmente finito si para cada elemento no identitario en el grupo, hay un subgrupo normal de índice finito que no contiene ese elemento.
- Un grupo es residualmente finito si y solo si la intersección de todos sus subgrupos de índice finito es trivial.
- Un grupo es residualmente finito si y solo si la intersección de todos sus subgrupos normales de índice finito es trivial.
- Un grupo es residualmente finito si y solo si puede integrarse dentro del producto directo de una familia de grupos finitos.
Ejemplos de
Ejemplos de grupos que son residualmente finito son grupos finitos , grupos libres , generados finitamente grupos nilpotentes , grupos policíclico-by-finito , finitamente generados lineal grupos , y los grupos fundamentales de compactos 3-variedades .
Los subgrupos de grupos residualmente finitos son residualmente finitos y los productos directos de los grupos residualmente finitos son residualmente finitos. Cualquier límite inverso de grupos residualmente finitos es residualmente finito. En particular, todos los grupos profinitos son residualmente finitos.
Pueden construirse ejemplos de grupos no residualmente finitos utilizando el hecho de que todos los grupos residualmente finitos generados finitamente son grupos Hopfianos . Por ejemplo, el grupo Baumslag-Solitar B (2,3) no es hopfiano y, por lo tanto, no es residualmente finito.
Topología profinita
Cada grupo G puede estar hecha en un grupo topológico tomando como base de los barrios abiertos de la identidad, la colección de todos los subgrupos normales de índice finito en G . El resultante topología se llama la topología profinito en G . Un grupo es residualmente finito si, y solo si, su topología profinita es Hausdorff .
Un grupo cuyos subgrupos cíclicos están cerrados en la topología profinita se dice que es . Los grupos, cada uno de cuyos subgrupos generados finitamente están cerrados en la topología profinita se denominan subgrupos separables (también LERF , para localmente extendido residualmente finito ). Un grupo en el que cada clase de conjugación está cerrada en la topología profinita se denomina conjugación separable .
Variedades de grupos residualmente finitos
Una pregunta es: ¿cuáles son las propiedades de una variedad cuyos grupos son residualmente finitos? Dos resultados sobre estos son:
- Cualquier variedad que comprende sólo grupos residualmente finitos es generado por un A-grupo .
- Para cualquier variedad que comprenda solo grupos residualmente finitos, contiene un grupo finito de modo que todos los miembros están incluidos en un producto directo de ese grupo finito.