En el campo matemático de la teoría de grupos , los grupos Baumslag-Solitar son ejemplos de grupos de dos generadores y un relator que juegan un papel importante en la teoría combinatoria de grupos y la teoría de grupos geométricos como (contra) ejemplos y casos de prueba. Son dados por la presentación grupal
Para cada número entero m y n , el grupo Baumslag-Solitar se denota BS ( m , n ) . La relación en la presentación se llama relación Baumslag-Solitar .
Algunas de las diversas BS ( m , n ) son grupos bien conocidos. BS (1, 1) es el grupo abeliano libre en dos generadores , y BS (1, -1) es el grupo fundamental de la botella de Klein .
Los grupos fueron definidos por Gilbert Baumslag y Donald Solitar en 1962 para proporcionar ejemplos de grupos no hopfianos . Los grupos contienen grupos residualmente finitos , grupos hopfianos que no son residualmente finitos y grupos no hopfianos.
Representación lineal
Definir
El grupo de matriz G generado por A y B es una imagen homomórfica de BS ( m , n ) , a través del homomorfismo inducido por
Vale la pena señalar que esto, en general, no será un isomorfismo. Por ejemplo, si BS ( m , n ) no es residualmente finito (es decir, si no es el caso de que | m | = 1 , | n | = 1 , o | m | = | n | [1] ) no puede ser isomorfo a un grupo lineal finitamente generado , que se sabe que es residualmente finito por un teorema de Anatoly Maltsev . [2]
Ver también
Notas
Referencias
- DJ Collins (2001) [1994], "Grupo Baumslag – Solitar" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Gilbert Baumslag y Donald Solitar, Algunos grupos no hopfianos de dos generadores y un relator , Boletín de la Sociedad Americana de Matemáticas 68 (1962), 199-201. SEÑOR0142635