En geometría hiperbólica , la "ley de los cosenos" es un par de teoremas que relacionan los lados y los ángulos de los triángulos en un plano hiperbólico , análoga a la ley plana de los cosenos de la trigonometría plana , o la ley esférica de los cosenos en la trigonometría esférica . [1] [2] [3] También se puede relacionar con la fórmula relativista de adición de velocidades . [4] [5] [6]
Historia
Describiendo relaciones de geometría hiperbólica, [7] [8] [9] [10] se demostró por Franz Taurinus (1826) que la ley esférica de cosenos se puede relacionar con las esferas de radio imaginario, por lo que llegó a la ley hiperbólica de cosenos en la forma: [11]
que también fue mostrado por Nikolai Lobachevsky (1830): [12]
Ferdinand Minding (1840) lo dio en relación con superficies de curvatura negativa constante: [13]
como lo hizo Delfino Codazzi (1857): [14]
La relación con la relatividad usando la rapidez fue demostrada por Arnold Sommerfeld (1909) [15] y Vladimir Varićak (1910). [dieciséis]
Leyes hiperbólicas de los cosenos
Tome un plano hiperbólico cuya curvatura gaussiana es. Dado un triángulo hiperbólico con ángulos y longitudes de los lados , , y , las siguientes dos reglas son válidas. El primero es un análogo de la ley euclidiana de los cosenos, que expresa la longitud de un lado en términos de los otros dos y el ángulo entre el último:
( 1 )
La segunda ley no tiene un análogo euclidiano, ya que expresa el hecho de que las longitudes de los lados de un triángulo hiperbólico están determinadas por los ángulos interiores:
Christian Houzel (página 8) indica que la ley hiperbólica de los cosenos implica el ángulo de paralelismo en el caso de un triángulo hiperbólico ideal: [17]
- Cuándo , es decir, cuando el vértice "A" se rechaza hasta el infinito y los lados "BA" y "CA" son "paralelos", el primer miembro es igual a 1; supongamos además que así que eso y . El ángulo en ”B” toma un valor β dado por ; este ángulo se denominó más tarde "ángulo de paralelismo" y Lobachevsky lo anotó por "F (a)" o Π ("a").
Ley hiperbólica de Haversines
En los casos en los que "a / k" sea pequeño y esté resuelto, la precisión numérica de la forma estándar de la ley hiperbólica de los cosenos disminuirá debido a los errores de redondeo , exactamente por la misma razón que lo hace en la ley esférica de los cosenos . La versión hiperbólica de la ley de los haversines puede resultar útil en este caso:
Adición de velocidades relativistas a través de la ley hiperbólica de los cosenos
Configuración en ( 1 ), y mediante el uso de identidades hiperbólicas en términos de la tangente hiperbólica , la ley hiperbólica de los cosenos se puede escribir:
( 2 )
En comparación, las fórmulas de suma de velocidades de la relatividad especial para las direcciones xey, así como bajo un ángulo arbitrario, donde v es la velocidad relativa entre dos marcos inerciales , u la velocidad de otro objeto o marco, yc la velocidad de la luz , viene dada por [4] [18]
Resulta que este resultado corresponde a la ley hiperbólica de los cosenos, al identificar con rapidez relativista , las ecuaciones en ( 2 ) asumen la forma: [16] [5] [6]
Ver también
- Ley hiperbólica de los senos
- Trigonometría de triángulo hiperbólico
- Historia de las transformaciones de Lorentz
Referencias
- ^ Anderson, James W. (2005). Geometría hiperbólica (2ª ed.). Londres: Springer. ISBN 1-85233-934-9.
- ^ Miles Reid y Balázs Szendröi (2005) "Geometría y topología", §3.10 Triángulos hiperbólicos y trigonometría, Cambridge University Press , ISBN 0-521-61325-6 , SEÑOR2194744 .
- ^ Reiman, István (1999). Geometria és határterületei . Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft. ISBN 978-963-237-012-5.
- ^ a b Pauli, Wolfgang (1921), "Die Relativitätstheorie" , Encyclopädie der mathischen Wissenschaften , 5 (2): 539–776
En Inglés: Pauli, W. (1981) [1921]. Teoría de la relatividad . Teorías fundamentales de la física . 165 . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-64152-X. - ^ a b Barrett, JF (2006), La teoría hiperbólica de la relatividad arXiv : 1102.0462
- ^ a b Mathpages: Velocity Compositions y Rapidez
- ^ Bonola, R. (1912). Geometría no euclidiana: estudio crítico e histórico de su desarrollo . Chicago: Open Court.
- ^ Bonola (1912), pág. 79 para Taurinus; pag. 89 para Lobachevsky; pag. 137 para Minding
- ^ Gray, J. (1979). "Geometría no euclidiana: una reinterpretación" . Historia Mathematica . 6 (3): 236–258. doi : 10.1016 / 0315-0860 (79) 90124-1 .
- ^ Gray (1979), p. 242 para Taurinus; pag. 244 para Lobachevsky; pag. 246 para Minding
- ^ Taurinus, Franz Adolph (1826). Geometriae prima elementa. Recensuit et novas observaciónes adjecit . Colonia: Bachem. pag. 66.
- ^ Lobachevsky, N. (1898) [1830]. "Ueber die Anfangsgründe der Geometrie". En Engel, F .; Stäckel, P. (eds.). Zwei geometrische Abhandlungen . Leipzig: Teubner. págs. 21 -65.
- ^ Minding, F. (1840). "Beiträge zur Theorie der kürzesten Linien auf krummen Flächen" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 20 : 324.
- ^ Codazzi, D. (1857). "Intorno alle superficie le quali hanno costante il prodotto de due raggi di curvatura" . Ana. Sci. Estera. Fis . 8 : 351–354.
- ^ Sommerfeld, A. (1909), "Über die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten in der Relativtheorie" [Traducción de Wikisource: Sobre la composición de velocidades en la teoría de la relatividad ], Verh. Der DPG , 21 : 577–582
- ^ a b Varičak, Vladimir (1912), [ Sobre la interpretación no euclidiana de la teoría de la relatividad ], Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 21 : 103-127
- ^ Houzel, Christian (1992) "El nacimiento de la geometría no euclidiana", páginas 3 a 21 en "1830-1930: Un siglo de geometría", Lecture Notes in Physics # 402, Springer-VerlagISBN 3-540-55408-4 .
- ↑ Pauli (1921), pág. 561
enlaces externos
- Geometría no euclidiana, Wiki de matemáticas en TU Berlín