En geometría hiperbólica , el ángulo de paralelismo , es el ángulo en el vértice no recto de un triángulo hiperbólico recto que tiene dos lados paralelos asintóticos . El ángulo depende de la longitud del segmento a entre el ángulo recto y el vértice del ángulo de paralelismo.
Dado un punto que no está en una línea, suelte una perpendicular a la línea desde el punto. Sea a la longitud de este segmento perpendicular, yser el menor ángulo tal que la línea trazada a través del punto no se cruce con la línea dada. Dado que dos lados son asintóticamente paralelos,
Hay cinco expresiones equivalentes que se relacionan y un :
donde sinh, cosh, tanh, sech y csch son funciones hiperbólicas y gd es la función de Gudermann .
Construcción
János Bolyai descubrió una construcción que da el paralelo asintótico s a una recta r que pasa por un punto A que no está en r . [1] Suelta una perpendicular desde A hacia B en r . Elija cualquier punto C en r diferente de B . Erigir una perpendicular t a r en C . Suelta una perpendicular de A a D en t . Entonces longitud DA es más largo que CB , pero más corta que CA . Dibuja un círculo alrededor de C con radio igual a DA . Se cortará el segmento AB en un punto E . Entonces el ángulo BEC es independiente de la longitud BC , dependiendo sólo de AB ; es el ángulo del paralelismo. Construya s a través de A en el ángulo BEC de AB .
Consulte Trigonometría de triángulos rectángulos para conocer las fórmulas que se utilizan aquí.
Historia
El ángulo del paralelismo se desarrolló en 1840 en la publicación alemana "Geometrische Untersuchungen zur Theory der Parallellinien" de Nikolai Lobachevsky .
Esta publicación se hizo ampliamente conocida en inglés después de que el profesor de Texas GB Halsted produjera una traducción en 1891 ( Investigaciones geométricas sobre la teoría de los paralelos ).
Los siguientes pasajes definen este concepto fundamental en la geometría hiperbólica:
Demostración
En el modelo de semiplano de Poincaré del plano hiperbólico (ver Movimientos hiperbólicos ), se puede establecer la relación de φ a a con la geometría euclidiana . Sea Q el semicírculo de diámetro en el eje x que pasa por los puntos (1,0) y (0, y ), donde y > 1. Como Q es tangente al semicírculo unitario centrado en el origen, los dos semicírculos representan líneas hiperbólicas paralelas . El y eje x cruces dos semicírculos, haciendo un ángulo recto con el semicírculo unidad y un ángulo variable φ con Q . El ángulo en el centro de Q subtendido por el radio a (0, y ) también es φ porque los dos ángulos tienen lados perpendiculares, de izquierda a izquierda y de derecha a derecha. El semicírculo Q tiene su centro en ( x , 0), x <0, por lo que su radio es 1 - x . Por tanto, el radio al cuadrado de Q es
por eso
La métrica del modelo de semiplano de Poincaré de geometría hiperbólica parametriza la distancia en el rayo {(0, y ): y > 0} con medida logarítmica . Sea log y = a , entonces y = e a donde e es la base del logaritmo natural . Entonces, la relación entre φ y a se puede deducir del triángulo {( x , 0), (0, 0), (0, y )}, por ejemplo:
Referencias
- ^ "Geometría no euclidiana" por Roberto Bonola, página 104, Publicaciones de Dover.
- ^ Nikolai Lobachevsky (1840)Traductor GB Halsted (1891) Investigaciones geométricas sobre la teoría de los paralelos , enlace de Google Books
- ^ Bonola, Roberto (1955). Geometría no euclidiana: un estudio crítico e histórico de sus desarrollos (República íntegra e inalterada de la 1. traducción inglesa 1912. ed.). Nueva York, NY: Dover. ISBN 0-486-60027-0.
- ^ AS Smogorzhevsky (1982) Lobachevskian Geometry , §12 Fórmulas básicas de geometría hiperbólica, figura 37, página 60, Mir Publishers , Moscú
- Marvin J. Greenberg (1974) Geometrías euclidianas y no euclidianas , págs. 211–3, WH Freeman & Company .
- Robin Hartshorne (1997) Compañero de Euclid págs. 319, 325, American Mathematical Society , ISBN 0821807978 .
- Jeremy Gray (1989) Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic , 2ª edición, Clarendon Press , Oxford (véanse las páginas 113 a 118).
- Béla Kerékjártó (1966) Les Fondements de la Géométry , Tome Deux, §97.6 Angle de parallélisme de la géométry hyperbolique, págs. 411,2, Akademiai Kiado, Budapest.