Distribución secante hiperbólica

secante hiperbólico

Función de densidad de probabilidad
Función de distribución acumulativa
Parámetros	ninguno
Apoyo	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\;\operatorname {sech} \!\left({\frac {\pi }{2}}\,x\right)\!}$
CDF	${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\arctan \!\left[\exp \!\left({\frac {\pi }{2}}\,x\right)\right]\!}$
Significar	${\displaystyle 0}$
Mediana	${\displaystyle 0}$
Modo	${\displaystyle 0}$
Diferencia	${\displaystyle 1}$
Oblicuidad	${\displaystyle 0}$
Ex. curtosis	${\displaystyle 2}$
Entropía	4 / π K ${\displaystyle \;\approx 1.16624}$
MGF	${\displaystyle \sec(t)\!}$ por ${\displaystyle |t|<{\frac {\pi }{2}}\!}$
CF	${\displaystyle \operatorname {sech} (t)\!}$ por ${\displaystyle |t|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución secante hiperbólica es una distribución de probabilidad continua cuya función de densidad de probabilidad y función característica son proporcionales a la función secante hiperbólica . La función secante hiperbólica es equivalente al coseno hiperbólico recíproco y, por lo tanto, esta distribución también se denomina distribución cosh inversa .

La generalización de la distribución da lugar a la distribución de Meixner , también conocida como la Familia Exponencial Natural - Secante Hiperbólico Generalizado o distribución NEF-GHS .

Explicación

Una variable aleatoria sigue una distribución secante hiperbólica si su función de densidad de probabilidad (pdf) se puede relacionar con la siguiente forma estándar de función de densidad mediante una transformación de ubicación y desplazamiento:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}\;\operatorname {sech} \!\left({\frac {\pi }{2}}\,x\right)\!,}$

donde "sech" denota la función secante hiperbólica. La función de distribución acumulada (cdf) de la distribución estándar es una versión escalada y desplazada de la función de Gudermann ,

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan \!\left[\operatorname {sinh} \!\left({\frac {\pi }{2}}\,x\right)\right]\!,}$

${\displaystyle ={\frac {2}{\pi }}\arctan \!\left[\exp \left({\frac {\pi }{2}}\,x\right)\right]\!.}$

donde "arctan" es la función tangente inversa (circular) . La CDF inversa (o función cuantílica) es

${\displaystyle F^{-1}(p)=-{\frac {2}{\pi }}\,\operatorname {arcsinh} \!\left[\cot(\pi \,p)\right]\!,}$

${\displaystyle ={\frac {2}{\pi }}\,\ln \!\left[\tan \left({\frac {\pi }{2}}\,p\right)\right]\!.}$

donde "arcsinh" es la función seno hiperbólico inversa y "cot" es la función cotangente (circular) .

La distribución secante hiperbólica comparte muchas propiedades con la distribución normal estándar : es simétrica con varianza unitaria y media cero , mediana y moda , y su función de densidad media es proporcional a su función característica. Sin embargo, la distribución secante hiperbólica es leptocúrtica ; es decir, tiene un pico más agudo cerca de su media y colas más pesadas, en comparación con la distribución normal estándar.

Johnson y col. (1995) ^{[1] ( p147 )} coloca esta distribución en el contexto de una clase de formas generalizadas de la distribución logística , pero utiliza una parametrización diferente de la distribución estándar en comparación con la aquí. Ding (2014) ^[2] muestra tres ocurrencias de la distribución secante hiperbólica en el modelado e inferencia estadísticos.

Generalizaciones

Convolución

Considerando la suma (escalada) de variables aleatorias secantes hiperbólicas independientes e idénticamente distribuidas :${\displaystyle r}$

${\displaystyle X={\frac {1}{\sqrt {r}}}\;(X_{1}+X_{2}+\;...\;+X_{r})}$

luego en el límite la distribución de la voluntad tenderá a la distribución normal , de acuerdo con el teorema del límite central .${\displaystyle r\to \infty }$${\displaystyle X}$${\displaystyle N(0,1)}$

Esto permite definir una familia conveniente de distribuciones con propiedades intermedias entre la secante hiperbólica y la distribución normal, controladas por el parámetro de forma , que puede extenderse a valores no enteros a través de la función característica.${\displaystyle r}$

${\displaystyle \varphi (t)={\big (}\operatorname {sech} (t/{\sqrt {r}}){\big )}^{r}}$

Los momentos se pueden calcular fácilmente a partir de la función característica. Se encuentra que el exceso de curtosis es .${\displaystyle 2/r}$

Inclinar

Se puede obtener una forma sesgada de la distribución multiplicando por exponencial y normalizando, para dar la distribución${\displaystyle e^{\theta x},|{\theta }|<{\pi }/2}$

${\displaystyle f(x)=\cos \theta \;{\frac {e^{\theta x}}{2\operatorname {cosh} ({\frac {\pi x}{2}})}}}$

donde el valor del parámetro corresponde a la distribución original.${\displaystyle \theta =0}$

Ubicación y escala

La distribución (y sus generalizaciones) también se puede cambiar y escalar trivialmente de la manera habitual para dar una familia de escala de ubicación correspondiente.

Todo lo anterior

Si se permiten los cuatro ajustes anteriores, se obtiene una distribución con cuatro parámetros, que controlan la forma, el sesgo, la ubicación y la escala respectivamente, denominada distribución de Meixner ^{[3] en} honor a Josef Meixner, que investigó por primera vez a la familia, o distribución NEF-GHS ( exponencial familia - Distribución secante hiperbólica generalizada).

Losev (1989) ha estudiado de forma independiente la curva asimétrica (sesgada) , que utiliza solo dos parámetros . Tienen que ser tanto positivas como negativas, siendo la secante, y siendo su forma más remodelada. ^[4]${\displaystyle h(x)={\frac {1}{\exp(-ax)+\exp(bx)}}}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle h(x)^{r}}$

En matemáticas financieras, la distribución de Meixner se ha utilizado para modelar el movimiento no gaussiano de los precios de las acciones, con aplicaciones que incluyen la fijación de precios de opciones.

Referencias

1. Johnson, Norman L .; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1995). Distribuciones univariadas continuas . 2 . ISBN 978-0-471-58494-0.
2. Ding, P. (2014). "Tres ocurrencias de la distribución hiperbólico-secante". El estadístico estadounidense . 68 : 32–35. CiteSeerX 10.1.1.755.3298 . doi : 10.1080 / 00031305.2013.867902 . 
3. MeixnerDistribution ,documentación de Wolfram Language . Consultado el 9 de junio de 2020.
4. Losev, A. (1989). "Una nueva forma de línea para ajustar picos de fotoelectrones de rayos X". Análisis de superficie e interfaz . 14 (12): 845–849. doi : 10.1002 / sia.740141207 .

• Baten, WD (1934). "La ley de probabilidad para la suma de n variables independientes, cada una sujeta a la ley " ( 2 h ) − 1 sech ⁡ ( π x / 2 h ) {\displaystyle (2h)^{-1}\operatorname {sech} (\pi x/2h)} . Boletín de la American Mathematical Society . 40 (4): 284–290. doi : 10.1090 / S0002-9904-1934-05852-X .
• Talacko, J. (1956). "Distribuciones de ventajas y su papel en la teoría de las variables estocásticas de Wiener". Trabajos de Estadística . 7 (2): 159-174. doi : 10.1007 / BF03003994 .
• Devroye, Luc (1986). Generación variable aleatoria no uniforme . Nueva York: Springer-Verlag. Sección IX.7.2.
• Smyth, GK (1994). "Una nota sobre el modelado de correlaciones cruzadas: regresión secante hiperbólica" (PDF) . Biometrika . 81 (2): 396–402. doi : 10.1093 / biomet / 81.2.396 .
• Matthias J. Fischer (2013), Distribuciones secantes hiperbólicas generalizadas: con aplicaciones a las finanzas , Springer. ISBN 3642451381 . libros de Google