La función de Gudermann , llamada así por Christoph Gudermann (1798-1852), relaciona las funciones circulares y las funciones hiperbólicas sin usar explícitamente números complejos .
Está definido para todo x por [1] [2] [3]
Propiedades
Definiciones alternativas
Algunas identidades
Inverso
(Ver funciones hiperbólicas inversas ).
Algunas identidades
Derivados
Historia
La función fue introducida por Johann Heinrich Lambert en la década de 1760 al mismo tiempo que las funciones hiperbólicas . Lo llamó el "ángulo trascendente" y recibió varios nombres hasta 1862, cuando Arthur Cayley sugirió que se le diera su nombre actual como tributo al trabajo de Gudermann en la década de 1830 sobre la teoría de funciones especiales. [4] Gudermann había publicado artículos en Crelle's Journal que fueron recopilados en Theorie der potenzial- oder cyklisch-hyperbolischen Functionen (1833), un libro que exponía sinh y cosh a una amplia audiencia (bajo la apariencia de y ).
La notación gd fue introducida por Cayley [5] donde comienza llamando a gd. u la inversa de la integral de la función secante :
y luego deriva "la definición" de lo trascendente:
observando inmediatamente que es una función real de u .
Aplicaciones
- La función del ángulo de paralelismo en geometría hiperbólica se define por
- En una proyección de Mercator, una línea de latitud constante es paralela al ecuador (en la proyección) y se desplaza en una cantidad proporcional a la inversa de Gudermann de la latitud.
- El gudermanniano (con un argumento complejo) puede usarse en la definición de la proyección transversal de Mercator . [6]
- El Gudermanniano aparece en una solución no periódica del péndulo invertido . [7]
- El Gudermanniano también aparece en una solución de espejo móvil del efecto Casimir dinámico . [8]
Ver también
Referencias
- ^ Olver, FWJ; Lozier, DW; Boisvert, RF; Clark, CW, eds. (2010), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press. Sección 4.23 (viii) . CS1 maint: posdata ( enlace )
- ^ Manual de CRC de Ciencias Matemáticas 5ª ed. págs. 323–325
- ^ Weisstein, Eric W. "Gudermannian" . MathWorld .
- ^ George F. Becker, CE Van Orstrand. Funciones hiperbólicas. Read Books, 1931. Página xlix. Copia escaneada disponible en archive.org
- ^ Cayley, A. (1862). "Sobre el Di-s trascendente" . Revista Filosófica . Cuarta Serie. 24 (158): 19-21. doi : 10.1080 / 14786446208643307 .
- ^ Osborne, P (2013), Las proyecciones de Mercator , p74CS1 maint: posdata ( enlace )
- ^ John S. Robertson (1997). "Gudermann y el péndulo simple". The College Mathematics Journal . 28 (4): 271–276. doi : 10.2307 / 2687148 . JSTOR 2687148 . Revisión .CS1 maint: posdata ( enlace )
- ^ Bien, Michael RR; Anderson, Paul R .; Evans, Charles R. (2013). "Dependencia del tiempo de creación de partículas de espejos de aceleración". Physical Review D . 88 (2): 025023. arXiv : 1303.6756 . Código bibliográfico : 2013PhRvD..88b5023G . doi : 10.1103 / PhysRevD.88.025023 .