En matemáticas , la constante G del catalán se define por
donde β es la función beta de Dirichlet . Su valor numérico [1] es aproximadamente (secuencia A006752 en la OEIS )
- G =0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …
¿Es irracional la constante del catalán? Si es así, ¿es trascendental?
No se sabe si G es irracional , y mucho menos trascendental . [2] G ha sido llamado "posiblemente la constante más básica cuya irracionalidad y trascendencia (aunque fuertemente sospechadas) no han sido probadas". [3]
La constante de Catalan recibió su nombre de Eugène Charles Catalan , quien encontró series rápidamente convergentes para su cálculo, [4] y publicó una memoria sobre ella en 1865. [5]
Usos
En topología de baja dimensión , la constante de Catalán es 1/4 del volumen de un octaedro hiperbólico ideal y, por lo tanto, 1/4 del volumen hiperbólico del complemento del enlace de Whitehead . [6] Es 1/8 del volumen del complemento de los anillos borromeos . [7]
En combinatoria y mecánica estadística , surge en relación con el conteo de teselas dominó , [8] árboles de expansión , [9] y ciclos hamiltonianos de gráficos de cuadrícula . [10]
En teoría de números , la constante del catalán aparece en una fórmula conjeturada para el número asintótico de primos de la formasegún la conjetura F de Hardy y Littlewood . Sin embargo, es un problema sin resolver (uno de los problemas de Landau ) si hay incluso infinitos números primos de esta forma. [11]
La constante de Catalán también aparece en el cálculo de la distribución de masa de las galaxias espirales . [12] [13]
Dígitos conocidos
El número de dígitos conocidos de la constante G del catalán ha aumentado drásticamente durante las últimas décadas. Esto se debe tanto al aumento del rendimiento de las computadoras como a las mejoras algorítmicas. [14]
Fecha | Dígitos decimales | Computación realizada por |
---|---|---|
1832 | dieciséis | Thomas Clausen |
1858 | 19 | Carl Johan Danielsson Hill |
1864 | 14 | Eugène Charles catalán |
1877 | 20 | Glaisher James WL |
1913 | 32 | Glaisher James WL |
1990 | 20 000 | Greg J. Fee |
1996 | 50 000 | Greg J. Fee |
14 de agosto de 1996 | 100 000 | Greg J. Fee y Simon Plouffe |
29 de septiembre de 1996 | 300 000 | Thomas Papanikolaou |
1996 | 1 500 000 | Thomas Papanikolaou |
1997 | 3 379 957 | Patrick Demichel |
4 de enero de 1998 | 12 500 000 | Xavier Gourdon |
2001 | 100 000 500 | Xavier Gourdon y Pascal Sebah |
2002 | 201 000 000 | Xavier Gourdon y Pascal Sebah |
Octubre de 2006 | 5 000 000 000 | Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo [15] |
Agosto de 2008 | 10 000 000 000 | Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo [16] |
31 de enero de 2009 | 15 510 000 000 | Alexander J. Yee y Raymond Chan [17] |
16 de abril de 2009 | 31 026 000 000 | Alexander J. Yee y Raymond Chan [17] |
7 de junio de 2015 | 200 000 001 100 | Robert J. Setti [18] |
12 de abril de 2016 | 250 000 000 000 | Ron Watkins [18] |
16 de febrero de 2019 | 300 000 000 000 | Tizian Hanselmann [18] |
29 de marzo de 2019 | 500 000 000 000 | Mike A e Ian Cutress [18] |
16 de julio de 2019 | 600 000 000 100 | Seungmin Kim [19] [20] |
16 de julio de 2019 | 600 000 000 100 | Robert Reynolds [21] |
Identidades integrales
Como escribe Seán Stewart, "hay una fuente rica y aparentemente interminable de integrales definidas que pueden equipararse o expresarse en términos de la constante catalana". [22] Algunas de estas expresiones incluyen:
donde las últimas tres fórmulas están relacionadas con las integrales de Malmsten. [23]
Si K ( k ) es la integral elíptica completa del primer tipo , en función del módulo elíptico k , entonces
Con la función gamma Γ ( x + 1) = x !
La integral
es una función especial conocida, llamada integral tangente inversa , y fue ampliamente estudiada por Srinivasa Ramanujan .
Relación con otras funciones especiales
G aparece en los valores de la segunda función poligamma , también llamada función trigamma , en argumentos fraccionarios:
Simon Plouffe da una colección infinita de identidades entre la función trigamma, π 2 y la constante de Catalán; estos se pueden expresar como trayectorias en un gráfico.
Constante de catalán se produce con frecuencia en relación con la función Clausen , la integral tangente inversa , la integral seno inverso , el Barnes G -Función , así como integrales y serie sumable en términos de las funciones antes mencionadas.
Como ejemplo particular, al expresar primero la integral tangente inversa en su forma cerrada, en términos de funciones de Clausen, y luego expresar esas funciones de Clausen en términos de la función G de Barnes , se obtiene la siguiente expresión (ver Función de Clausen para más información) :
Si se define el trascendente de Lerch Φ ( z , s , α ) (relacionado con la función zeta de Lerch ) por
luego
Series que convergen rápidamente
Las siguientes dos fórmulas involucran series que convergen rápidamente y, por lo tanto, son apropiadas para el cálculo numérico:
y
Broadhurst, para la primera fórmula, [24] y Ramanujan, para la segunda fórmula , dan los fundamentos teóricos de tales series . [25] Los algoritmos para la evaluación rápida de la constante catalana fueron construidos por E. Karatsuba. [26] [27]
Ver también
- Valores particulares de la función zeta de Riemann
- Constante matemática
Referencias
- ^ Papanikolaou, Thomas (marzo de 1997). "Constante del catalán a 1.500.000 plazas" . Gutenberg.org .
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- ^ Bailey, David H .; Borwein, Jonathan M .; Mattingly, Andrew; Wightwick, Glenn (2013), "El cálculo de dígitos previamente inaccesibles dey la constante del catalán ", Notices of the American Mathematical Society , 60 (7): 844–854, doi : 10.1090 / noti1015 , MR 3086394
- ^ Goldstein, Catherine (2015), "Los logros matemáticos de Eugène Catalan" , Bulletin de la Société Royale des Sciences de Liège , 84 : 74–92, MR 3498215
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- ^ Temperley, HNV ; Fisher, Michael E. (agosto de 1961), "Problema de dímeros en mecánica estadística: un resultado exacto", Philosophical Magazine , 6 (68): 1061–1063, Bibcode : 1961PMag .... 6.1061T , doi : 10.1080 / 14786436108243366
- ^ Wu, FY (1977), "Número de árboles de expansión en una celosía", Journal of Physics , 10 (6): L113 – L115, Bibcode : 1977JPhA ... 10L.113W , doi : 10.1088 / 0305-4470 / 10 / 6/004 , MR 0489559
- ^ Kasteleyn, PW (1963), "Un problema de caminar soluble que se evita por sí mismo", Physica , 29 (12): 1329-1337, Bibcode : 1963Phy .... 29.1329K , doi : 10.1016 / S0031-8914 (63) 80241- 4 , MR 0159642
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Otras lecturas
- Adamchik, Victor (2002). "Cierta serie asociada a la constante catalana" . Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen . 21 (3): 1–10. doi : 10.4171 / ZAA / 1110 . Señor 1929434 .
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- Bradley, David M. (2007). "Una clase de fórmulas de aceleración de series para la constante catalana". El diario Ramanujan . 3 (2): 159-173. arXiv : 0706.0356 . Código Bibliográfico : 2007arXiv0706.0356B . doi : 10.1023 / A: 1006945407723 . S2CID 5111792 .
enlaces externos
- Adamchik, Víctor. "33 representaciones para la constante catalana" . Archivado desde el original el 7 de agosto de 2016.
- Plouffe, Simon (1993). "Algunas identidades (III) con el catalán" . Archivado desde el original el 26 de junio de 2019. (Proporciona más de cien identidades diferentes).
- Plouffe, Simon (1999). "Algunas identidades con constante catalán y Pi ^ 2" . Archivado desde el original el 26 de junio de 2019. (Proporciona una interpretación gráfica de las relaciones)
- Tarifa, Greg (1996). "La constante del catalán (fórmula de Ramanujan)" . (Proporciona los primeros 300.000 dígitos de la constante de catalán)
- Bradley, David M. (2001). Representaciones de la constante catalana . CiteSeerX 10.1.1.26.1879 .
- Johansson, Fredrik. "0,915965594177219015054603514932" . Ordner, un catálogo de números reales en Fungrim .
- "La constante del catalán" . YouTube . ¡Aprendamos, Nemo !. 10 de agosto de 2020.
- Weisstein, Eric W. "La constante del catalán" . MathWorld .
- "Constante catalana: Representaciones en serie" . Sitio de Wolfram Functions.
- "Constante catalana" . Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].