En geometría , el teorema de geometrización de Thurston o teorema de hiperbolización implica que las variedades de Haken atoroideas cerradas son hiperbólicas y, en particular, satisfacen la conjetura de Thurston .
Declaración
Una forma del teorema de geometrización de Thurston establece: Si M es una variedad de Haken atoroidal compacta e irreducible cuyo límite tiene una característica de Euler cero , entonces el interior de M tiene una estructura hiperbólica completa de volumen finito.
El teorema de rigidez de Mostow implica que si una variedad de dimensión al menos 3 tiene una estructura hiperbólica de volumen finito, entonces es esencialmente única.
Las condiciones de que el colector M debe ser irreducible y atoroidal son necesarias, ya que los colectores hiperbólicos tienen estas propiedades. Sin embargo, la condición de que la variedad sea Haken es innecesariamente fuerte. La conjetura de hiperbolización de Thurston establece que un 3-múltiple atoroidal irreductible cerrado con un grupo fundamental infinito es hiperbólico, y esto se sigue de la prueba de Perelman de la conjetura de geometrización de Thurston.
Colectores con límite
Thurston (1982 , 2.3) mostró que si una variedad compacta 3 es prima, homotópicamente atoroidal y tiene un límite no vacío, entonces tiene una estructura hiperbólica completa a menos que sea homeomórfica para una variedad determinada ( T 2 × [0,1] ) / Z / 2 Z con límite T 2 .
Una estructura hiperbólica en el interior de un colector de 3 compactos orientable tiene un volumen finito si y solo si todos los componentes de la frontera son tori, excepto el colector T 2 × [0,1] que tiene una estructura hiperbólica pero ninguno de volumen finito ( Thurston 1982 , pág.359).
Pruebas
Thurston nunca publicó una prueba completa de su teorema por las razones que explicó en ( Thurston 1994 ), aunque partes de su argumento están contenidas en Thurston ( 1986 , 1998a , 1998b ). Wall (1984) y Morgan (1984) dieron resúmenes de la prueba de Thurston. Otal (1996) dio una prueba en el caso de las variedades que fibra sobre el círculo, y Otal (1998) y Kapovich (2009) dieron pruebas para el caso genérico de las variedades que no tienen fibra sobre el círculo. El teorema de geometrización de Thurston también se deriva de la prueba de Perelman utilizando el flujo de Ricci de la conjetura más general de geometrización de Thurston .
Múltiples esa fibra sobre el círculo.
El argumento original de Thurston para este caso fue resumido por Sullivan (1979) . Otal (1996) dio una prueba en el caso de los colectores que atraviesan el círculo.
El teorema de geometrización de Thurston en este caso especial establece que si M es un 3-múltiple que fibra sobre el círculo y cuya monodromía es un difeomorfismo pseudo-Anosov , entonces el interior de M tiene una métrica hiperbólica completa de volumen finito.
Colectores que no forman fibra sobre el círculo
Otal (1998) y Kapovich (2009) dieron pruebas del teorema de Thurston para el caso genérico de variedades que no forman fibra sobre el círculo.
La idea de la prueba es cortar un colector Haken M a lo largo de una superficie incompresible, para obtener un nuevo colector N . Por inducción se supone que el interior de N tiene una estructura hiperbólica, y el problema es modificarlo para que pueda extenderse hasta el límite de N y pegarse. Thurston demostró que esto se deriva de la existencia de un punto fijo para un mapa del espacio de Teichmuller llamado mapa de piel . El núcleo de la demostración del teorema de geometrización es demostrar que si N no es un paquete de intervalos sobre una superficie y M es un atoroidal, entonces el mapa de desollado tiene un punto fijo. (Si N es un paquete de intervalos, entonces el mapa de desollado no tiene un punto fijo, por lo que se necesita un argumento separado cuando M fibras sobre el círculo). McMullen (1990) dio una nueva prueba de la existencia de un punto fijo de desollado. mapa.
Referencias
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enlaces externos
- Kapovich, M., teorema de geometrización (PDF)