En geometría, una sección circular es un círculo en una superficie cuadrática (como un elipsoide o hiperboloide ). Es una sección de plano especial de la cuadrícula, ya que este círculo es la intersección con la cuadrática del plano que contiene el círculo.
Cualquier sección plana de una esfera es una sección circular, si contiene al menos 2 puntos. Cualquier cuadrático de revolución contiene círculos como secciones con planos que son ortogonales a su eje; no contiene ningún otro círculo, si no es una esfera. Más ocultos están los círculos en otros cuadrículas, como elipsoides triaxiales, cilindros elípticos, etc. Sin embargo, es cierto que:
- Cualquier superficie cuadrática que contenga elipses también contiene círculos.
De manera equivalente, todas las superficies cuádricas contienen círculos excepto los cilindros parabólicos e hiperbólicos y los paraboloides hiperbólicos .
Si un cuadrático contiene un círculo, entonces cada intersección del cuadrático con un plano paralelo a este círculo también es un círculo, siempre que contenga al menos dos puntos. A excepción de las esferas, los círculos contenidos en un cuadrático, si los hay, son todos paralelos a uno de los dos planos fijos (que son iguales en el caso de un cuadrático de revolución).
Las secciones circulares se utilizan en cristalografía . [1] [2] [3]
Usando geometría proyectiva
Las secciones circulares de una cuadrática se pueden calcular a partir de la ecuación implícita de la cuadrática, como se hace en las siguientes secciones. También pueden caracterizarse y estudiarse utilizando geometría proyectiva sintética .
Deje C ser la intersección de una superficie cuádrica Q y un plano P . En esta sección, Q y C son superficies en el espacio euclidiano tridimensional , que se extienden al espacio proyectivo sobre los números complejos . Bajo estas hipótesis, la curva C es un círculo si y solo si su intersección con el plano en el infinito se incluye en el ombilic (la curva en el infinito de la ecuación).
El primer caso a considerar es cuando la intersección de Q con el plano en el infinito consiste en una o dos líneas reales, es decir, cuando Q es un paraboloide hiperbólico , un cilindro parabólico o un cilindro hiperbólico . En este caso, los puntos en el infinito de C son reales (intersección de un plano real con líneas reales). Por tanto, las secciones planas de Q no pueden ser círculos (ni elipses ).
Si Q es una esfera , su intersección con el plano en el infinito es el ombil y todas las secciones del plano son círculos.
Si Q es una superficie de revolución , su intersección con el ómbil consiste en un par de puntos complejos conjugados (que son puntos dobles ). Un plano real contiene estos dos puntos si y solo si es perpendicular al eje de revolución. Así, las secciones circulares son las secciones planas por un plano perpendicular al eje, que tienen al menos dos puntos reales.
En los otros casos, la intersección de Q con el ombilic consta de dos pares diferentes de puntos conjugados complejos. Como C es una curva de grado dos, su intersección con el plano en el infinito consta de dos puntos, posiblemente iguales. Por tanto, la curva C es un círculo, si estos dos puntos son uno de estos dos pares de puntos complejos conjugados en el ombil. Cada uno de estos pares define una línea real (que pasa por los puntos), que es la intersección de P con el plano en el infinito. Por lo tanto, uno tiene una sección circular si y solo C tiene al menos dos puntos reales y P contiene una de estas líneas en el infinito (es decir, si P es paralelo a una de las dos direcciones definidas por estas líneas en el infinito).
Determinación de secciones circulares de una cuadricula.
Para encontrar los planos, que contienen secciones circulares de una cuadrática dada, se usan las siguientes declaraciones:
- (S :) Si los puntos comunes de un cuadrático con una esfera están contenidos en un par de planos, entonces la curva de intersección consta de dos círculos.
- (P :) Si la intersección de un plano y un cuadrático es un círculo, entonces cualquier plano paralelo, que contenga al menos dos puntos del cuadrático, también interseca al cuadrático en un círculo.
De ahí que la estrategia para la detección de secciones circulares sea:
- 1) Encuentra una esfera , que interseca al cuadrático en un par de planos y
- 2) Los planos , que son paralelos a los detectados, entregan las restantes secciones circulares.
Elipsoide triaxial
Para el elipsoide con ecuación
y los semi-ejes uno usa una esfera auxiliar con ecuación
El radio de la esfera debe elegirse de manera que la intersección con el elipsoide esté contenida en dos planos a través del origen. Multiplicación de la ecuación del elipsoide por y restando la ecuación de la esfera se obtiene:
Esta ecuación describe un par de planos, si uno de los 3 coeficientes es cero. En caso de o la ecuación solo se cumple con el eje x o el eje z. Solo en caso de se obtiene un par de planos con ecuación
porque solo en este caso los coeficientes restantes tienen signos diferentes (debido a: ).
El diagrama da una impresión de intersecciones más comunes entre una esfera y un elipsoide y resalta el caso circular excepcional (azul).
Si los valores de los semiejes se acercan, los dos lápices de planos (y círculos) se acercan tampoco. Para todos los planos son ortogonales al eje z (eje de rotación).
Prueba de propiedad (P):
Girar el elipsoide alrededor del eje y de manera que uno de los dos círculos (azul) se encuentre en el plano xy da como resultado una nueva ecuación del elipsoide:
Para uno obtiene , que tiene que ser la ecuación de un círculo. Esto solo es cierto si. La intersección del elipsoide por un plano con ecuación, (paralelo al plano xy) tiene la ecuación
- .
Esta ecuación describe un círculo o un punto o el conjunto vacío. El centro y el radio del círculo se pueden encontrar completando el cuadrado .
Hiperboloide elíptico de una hoja
Para el hiperboloide de una hoja con ecuación
análogamente se obtiene por la intersección con la esfera la ecuacion
Solo para uno recibe un par de aviones:
Cilindro elíptico
Para el cilindro elíptico con ecuación
uno obtiene la ecuación
Solo para uno recibe un par de aviones:
Paraboloide elíptico
Para el paraboloide elíptico con ecuación
se elige una esfera que contiene el vértice (origen) y con centro en el eje (eje z):
Después de la eliminación de las partes lineales se obtiene la ecuación
Solo para uno recibe un par de aviones:
Hiperboloide elíptico de dos hojas
El hiperboloide de dos hojas con ecuación
se desplaza al principio de modo que un vértice es el origen (s. diagrama):
De manera análoga al caso del paraboloide, se elige una esfera que contiene el origen con centro en el eje z:
Después de la eliminación de las partes lineales se obtiene la ecuación
Solo para uno recibe un par de aviones:
Cono elíptico
El cono elíptico con ecuación
se desplaza de manera que el vértice no sea el origen (s. diagrama):
Ahora una esfera con centro en el origen es adecuada:
Eliminación de rinde:
En este caso, completar el cuadrado da:
Para obtener la ecuación de un par de planos, la parte derecha de la ecuación tiene que ser cero, lo cual es cierto para La solución para z da:
Referencias
- HF Baker: Principios de geometría, volumen 3 , Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-1-108-01779-4 .
- DMY Sommerville: Geometría analítica de tres dimensiones , Cambridge University Press, 1959, ISBN 978-1-316-60190-7 , pág. 204.
- KP Grotemeyer: Analytische Geometrie. Göschen-Verlag, 1962, pág. 143.
- H. Scheid, W. Schwarz: Elemente der Linearen Algebra und der Analysis. Spektrum, Heidelberg, 2009, ISBN 978-3-8274-1971-2 , pág. 132.
- ^ WH Westphal: Physikalisches Wörterbuch: Zwei Teile en Einem Band. Springer-Verlag, 1952, ISBN 978-3-662-12707-0 , pág. 350.
- ^ H. Tertsch: Die Festigkeitserscheinungen der Kristalle. Springer-Verlag, Viena, 1949, ISBN 978-3-211-80120-8 , pág. 87.
- ^ G. Masing: Lehrbuch der Allgemeinen Metallkunde. Springer-Verlag, Berlín, 1950, ISBN 978-3-642-52-993-1 , pág. 355.
enlaces externos
- H. Wiener, P. Treutlein: Modelos de un elipsoide triaxial y un paraboloide elíptico usando secciones circulares (ver p. 15) [1] (PDF).