En matemáticas, una superficie cuádrica o cuádrica ( hipersuperficie cuádrica en dimensiones superiores ), es una generalización de secciones cónicas ( elipses , parábolas e hipérbolas ). Es una hipersuperficie (de dimensión D ) en un espacio ( D + 1) -dimensional, y se define como el conjunto cero de un polinomio irreducible de grado dos en variables D + 1 ( D = 1en el caso de secciones cónicas). Cuando el polinomio definitorio no es absolutamente irreductible , el conjunto de ceros generalmente no se considera un cuádruple, aunque a menudo se lo llama un cuádrico degenerado o un cuádrico reducible .
En las coordenadas x 1 , x 2 , ..., x D +1 , el cuadrático general está definido por la ecuación algebraica [1]
que se puede escribir de forma compacta en notación vectorial y matricial como:
donde x = ( x 1 , x 2 , ..., x D +1 ) es un vector de fila , x T es la transpuesta de x (un vector de columna), Q es a ( D + 1) × ( D + 1 ) matriz y P es un vector de fila dimensional ( D + 1) y R una constante escalar. Los valores Q , P y R se toman a menudo como números reales o números complejos , pero se puede definir un cuadrático en cualquier campo .
Como la dimensión de un plano euclidiano es dos, las cuadrículas en un plano euclidiano tienen dimensión uno y, por lo tanto, son curvas planas . Se llaman secciones cónicas o cónicas .
Círculo ( e = 0), elipse ( e = 0.5), parábola ( e = 1) e hipérbola ( e = 2) con foco fijo F y directriz.
Espacio euclidiano
En el espacio euclidiano tridimensional , las cuadrículas tienen una dimensión D = 2 y se conocen como superficies cuadráticas . Se clasifican y nombran por sus órbitas bajo transformaciones afines . Más precisamente, si una transformación afín mapea un cuadrático en otro, pertenecen a la misma clase y comparten el mismo nombre y muchas propiedades.
donde el son 1, –1 o 0, excepto que toma solo el valor 0 o 1.
Cada una de estas 17 formas normales [2] corresponde a una sola órbita bajo transformaciones afines. En tres casos no hay puntos reales:( elipsoide imaginario ),( cilindro elíptico imaginario ), y(par de planos paralelos complejos conjugados , un cuadriculado reducible). En un caso, el cono imaginario , hay un solo punto (). Siuno tiene una línea (de hecho, dos planos complejos conjugados que se cruzan). Parauno tiene dos planos que se cruzan (cuadrático reducible). Parauno tiene doble plano. Para uno tiene dos planos paralelos (cuadrático reducible).
Así, entre las 17 formas normales, hay nueve cuadrículas verdaderas: un cono, tres cilindros (a menudo llamados cuadrículas degeneradas) y cinco cuadrículas no degeneradas ( elipsoide , paraboloides e hiperboloides ), que se detallan en las siguientes tablas. Las ocho cuadrículas restantes son el elipsoide imaginario (sin punto real), el cilindro imaginario (sin punto real), el cono imaginario (un solo punto real) y las cuadrículas reducibles, que se descomponen en dos planos; hay cinco cuadrículas descompuestas, dependiendo de si los planos son distintos o no, paralelos o no, conjugado real o complejo.
Cuando dos o más de los parámetros de la ecuación canónica son iguales, se obtiene un cuadrático de revolución , que permanece invariante cuando se gira alrededor de un eje (o infinitos ejes, en el caso de la esfera).
Cuadrículas de revolución
Achatados y alargados esferoides (casos especiales de elipsoide)
Paraboloide circular (caso especial de paraboloide elíptico)
Hiperboloide de revolución de una hoja (caso especial de hiperboloide de una hoja)
Hiperboloide de revolución de dos hojas (caso especial de hiperboloide de dos hojas)
Cono circular (caso especial de cono elíptico)
Cilindro circular (caso especial de cilindro elíptico)
Definición y propiedades básicas
Un cuádrico afín es el conjunto de ceros de un polinomio de grado dos. Cuando no se especifica lo contrario, se supone que el polinomio tiene coeficientes reales y los ceros son puntos en un espacio euclidiano . Sin embargo, la mayoría de las propiedades siguen siendo verdaderas cuando los coeficientes pertenecen a cualquier campo y los puntos pertenecen a un espacio afín . Como suele ocurrir en la geometría algebraica , a menudo es útil considerar puntos sobre un campo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes polinomiales, generalmente los números complejos , cuando los coeficientes son reales.
Muchas propiedades se vuelven más fáciles de enunciar (y de probar) al extender el cuadrático al espacio proyectivo mediante la terminación proyectiva , que consiste en sumar puntos en el infinito . Técnicamente, si
es un polinomio de grado dos que define un cuádrico afín, entonces su terminación proyectiva se define homogeneizando p en
(este es un polinomio, porque el grado de p es dos). Los puntos de la finalización proyectiva son los puntos del espacio proyectivo cuyas coordenadas proyectiva son ceros de P .
Entonces, un cuadrico proyectivo es el conjunto de ceros en un espacio proyectivo de un polinomio homogéneo de grado dos.
Como el proceso de homogeneización anterior se puede revertir estableciendo X 0 = 1 , a menudo es útil no distinguir un cuádrico afín de su terminación proyectiva y hablar de la ecuación afín o la ecuación proyectiva de un cuádrico.
Ecuación
Un cuadrático en un espacio afín de dimensión n es el conjunto de ceros de un polinomio de grado 2, que es el conjunto de los puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación
donde el polinomio p tiene la forma
dónde si la característica del campo de los coeficientes no es dos y de lo contrario.
Si A es la matriz ( n + 1) × ( n + 1) que tiene la como entradas, y
entonces la ecuación se puede acortar en la ecuación matricial
La ecuación de la terminación proyectiva de esta cuadrática es
o
con
Estas ecuaciones definen un cuadrático como una hipersuperficie algebraica de dimensión n - 1 y grado dos en un espacio de dimensión n .
Forma normal de cuadrículas proyectivas
Las cuadrículas se pueden tratar de manera uniforme introduciendo coordenadas homogéneas en un espacio euclidiano, considerándolo así efectivamente como un espacio proyectivo . Por lo tanto, si las coordenadas originales (afines) en R D +1 son
uno introduce nuevas coordenadas en I + D + 2
relacionado con las coordenadas originales por . En las nuevas variables, cada cuadrático se define mediante una ecuación de la forma
donde los coeficientes a ij son simétricos en i y j . Considerar Q ( X ) = 0 como una ecuación en el espacio proyectivo exhibe el cuádrico como una variedad algebraica proyectiva . Se dice que el cuadrático no es degenerado si la forma cuadrática no es singular; de manera equivalente, si la matriz ( a ij ) es invertible .
En el espacio proyectivo real , según la ley de inercia de Sylvester , una forma cuadrática no singular Q ( X ) se puede poner en la forma normal
por medio de una transformación proyectiva adecuada (las formas normales para cuadrículas singulares pueden tener ceros y ± 1 como coeficientes). Para superficies en el espacio (dimensión D = 2) hay exactamente tres casos no degenerados:
El primer caso es el conjunto vacío.
El segundo caso genera el elipsoide, el paraboloide elíptico o el hiperboloide de dos láminas, dependiendo de si el plano elegido en el infinito corta el cuádrico en el conjunto vacío, en un punto o en una cónica no degenerada respectivamente. Todos ellos tienen una curvatura gaussiana positiva .
El tercer caso genera el paraboloide hiperbólico o el hiperboloide de una hoja, dependiendo de si el plano al infinito lo corta en dos líneas o en una cónica no degenerada respectivamente. Se trata de superficies doblemente regladas de curvatura gaussiana negativa.
La forma degenerada
genera el cilindro elíptico, el cilindro parabólico, el cilindro hiperbólico o el cono, según si el plano en el infinito lo corta en un punto, una línea, dos líneas o una cónica no degenerada respectivamente. Se trata de superficies regladas individualmente de curvatura gaussiana cero.
Vemos que las transformaciones proyectivas no mezclan curvaturas gaussianas de signo diferente. Esto es cierto para superficies generales. [3]
En el espacio proyectivo complejo, todos los cuádricos no degenerados se vuelven indistinguibles entre sí.
Cuadrículas proyectivas sobre campos
La definición de un cuádrico proyectivo en un espacio proyectivo real (ver arriba) se puede adoptar formalmente definiendo un cuádrico proyectivo en un espacio proyectivo n-dimensional sobre un campo . Para omitir el tratamiento de las coordenadas, se suele definir una cuadrática proyectiva comenzando con una forma cuadrática en un espacio vectorial [4]
Forma cuadrática
Dejar ser un campo yun espacio vectorial sobre. Un mapeo de a tal que
(Q1) para cualquier y .
(Q2)es una forma bilineal .
se llama forma cuadrática . La forma bilineales simétrico .
En caso de la forma bilineal es , es decir y se determinan mutuamente de una manera única. En caso de (eso significa: ) la forma bilineal tiene la propiedad , es decir es simpléctico .
Para y ( es una base de ) tiene la forma familiar
y
.
Por ejemplo:
espacio proyectivo n- dimensional sobre un campo
Dejar ser un campo, ,
un ( n + 1) - espacio
vectorial dimensional sobre el campo
el subespacio unidimensional generado por 0 → ≠ X → ∈ V norte + 1 {\ Displaystyle {\ vec {0}} \ neq {\ vec {x}} \ in V_ {n + 1}}
,
el conjunto de puntos ,
el conjunto de líneas .
es el espacio proyectivo n- dimensional sobre .
El conjunto de puntos contenidos en un -subespacio dimensional de es un -subespacio dimensional de . Un subespacio bidimensional es un plano .
En caso de a -El subespacio dimensional se llama hiperplano .
Cuádrica proyectiva
Para una forma cuadrática en un espacio vectorial un punto se llama singular si. El conjunto
de puntos singulares de se llama cuádrica (con respecto a la forma cuadrática).
Ejemplos en .: (E1): Parauno obtiene una cónica . (E2): Para se obtiene el par de rectas con las ecuaciones y , respectivamente. Se cruzan en el punto;
Para las consideraciones siguientes, se supone que .
Espacio polar
Por el punto el conjunto
se llama espacio polar de (con respecto a ).
Si para cualquier , uno obtiene .
Si por al menos uno , la ecuacion es una ecuación lineal no trivial que define un hiperplano. Por eso
es un hiperplano o .
Intersección con una línea
Para la intersección de una línea con un cuadrático la declaración familiar es verdadera:
Por una línea arbitraria ocurren los siguientes casos:
a) y se llama línea exterior o
B) y se llama recta tangente o
B') y se llama recta tangente o
C) y se llama línea secante .
Prueba: dejar ser una línea, que se cruza en el punto y es un segundo punto en . De uno consigue I) En caso de la ecuacion aguanta y es para cualquier . Por lo tantopara cualquier o para cualquier, lo que demuestra b) yb '). II) En caso de uno consigue y la ecuación tiene exactamente una solución . Por eso:, lo que prueba c).
Además, la prueba muestra:
Una linea a través de un punto es una recta tangente si y solo si .
f -radical, q -radical
En los casos clásicos o solo existe un radical, debido a y y están estrechamente conectados. En caso de el cuadric no está determinado por (ver arriba) y entonces uno tiene que lidiar con dos radicales:
a) es un subespacio proyectivo. se llama f -radical de quadric .
B) se llama radical singular o -radical de .
c) En caso de uno tiene .
Un cuádrico se llama no degenerado si.
Ejemplos en (ver arriba): (E1): Para (cónica) la forma bilineal es En caso de los espacios polares nunca son . Por eso. En caso de la forma bilineal se reduce a y . Por esoEn este caso, el radical f es el punto común de todas las tangentes, el llamado nudo . En ambos casosy el cuadric (cónico) no es degenerado . (E2): Para (par de líneas) la forma bilineal es y el punto de intersección. En este ejemplo, el cuadrático está degenerado .
Simetrías
Un quadric es un objeto bastante homogéneo:
Por cualquier punto existe una involutorial centro colineación con centro y .
Prueba: debido a el espacio polar es un hiperplano.
El mapeo lineal
induce una colineación central involutiva con eje y centro que se va invariante. En caso de cartografía obtiene la forma familiar con y para cualquier .
Observación:
a) Una línea exterior, una línea tangente o una línea secante es mapeada por la involución en una línea exterior, tangente y secante, respectivamente.
B) es puntual fijado por .
q -subspacios e índice de un cuadriculado
Un subespacio de se llama -subespacio si
Por ejemplo: puntos en una esfera o líneas en un hiperboloide (ver más abajo).
Cualquiera dos máximos-los subespacios tienen la misma dimensión . [5]
Permitir la dimensión del máximo -subespacios de luego
El entero se llama índice de .
Teorema: (BUEKENHOUT) [6]
Para el índice de un cuadrico no degenerado en lo siguiente es cierto:
.
Permitir un cuadrico no degenerado en , y su índice.
En caso de cuadric se llama esfera (o cónica ovalada si ).
En caso de cuadric se llama hiperboloide (de una hoja).
Ejemplos:
a) Cuadric en con forma es no degenerado con índice 1.
b) Si polinomio es irreductible sobre la forma cuadrática da lugar a una cuadricula no degenerada en del índice 1 (esfera). Por ejemplo: es irreductible sobre (pero no terminado !).
c) En la forma cuadrática genera un hiperboloide .
Generalización de cuadrículas: conjuntos cuadráticos
No es razonable extender formalmente la definición de cuadrículas a espacios sobre campos de sesgo genuinos (anillos de división). Porque se obtendrían secantes con más de 2 puntos del cuádrico, lo cual es totalmente diferente de los cuádruples habituales . [7] [8] [9] La razón es la siguiente declaración.
Un anillo de divisiónes conmutativa si y solo si cualquier ecuación, tiene como máximo dos soluciones.
Hay generalizaciones de cuadrículas: conjuntos cuadráticos . [10] Un conjunto cuadrático es un conjunto de puntos de un espacio proyectivo con las mismas propiedades geométricas que un cuadrático: cada línea interseca un conjunto cuadrático en como máximo dos puntos o está contenida en el conjunto.
Ver también
Klein quadric
Rotación de ejes
Supercuadrics
Traducción de axes
Referencias
^ Silvio Levy Quadrics en "Geometry Formulas and Facts", extraído de la 30ª edición de CRC Standard Mathematical Tables and Formulas , CRC Press , del Centro de Geometría de la Universidad de Minnesota
^ Stewart Venit y Wayne Bishop, Álgebra lineal elemental (cuarta edición) , International Thompson Publishing, 1996.
^ S. Lazebnik y J. Ponce, "La forma proyectiva local de superficies lisas y sus contornos" (PDF) ., Proposición 1
^ Beutelspacher / Rosenbaum: pág. 158
↑ Beutelpacher / Rosenbaum, p.139
^ F. Buekenhout: Ensembles Quadratiques des Espace Projective , Math. Teitschr. 110 (1969), pág. 306-318.
^ R. Artzy : La cónicaen Moufang Planes , Aequat.Mathem. 6 (1971), pág. 31-35
^ E. Berz: Kegelschnitte en Desarguesschen Ebenen , Math. Zeitschr. 78 (1962), pág. 55-8
^ Enlace externo E. Hartmann: Geometrías de círculo plano , p. 123
^ Beutelspacher / Rosenbaum: pág. 135
Bibliografía
M. Audin: Geometría , Springer, Berlín, 2002, ISBN 978-3-540-43498-6 , pág. 200.
M. Berger: Libros de problemas en matemáticas , ISSN 0941-3502, Springer Nueva York, págs. 79–84.
A. Beutelspacher, U. Rosenbaum: Projektive Geometrie , Vieweg + Teubner, Braunschweig ua 1992, ISBN 3-528-07241-5 , pág. 159.
P. Dembowski: Geometrías finitas , Springer, 1968, ISBN 978-3-540-61786-0 , pág. 43.
Iskovskikh, VA (2001) [1994], "Quadric" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Weisstein, Eric W. "Quadric" . MathWorld .
enlaces externos
Modelos 3D interactivos de Java de todas las superficies cuádricas
Nota de conferencia Geometrías circulares planas , una introducción a los planos de Moebius, Laguerre y Minkowski , p. 117