En matemáticas, el análisis hipercomplejo es la extensión del análisis real y el análisis complejo al estudio de funciones donde el argumento es un número hipercomplejo . La primera instancia son funciones de una variable de cuaternión , donde el argumento es un cuaternión . Una segunda instancia involucra funciones de una variable motora donde los argumentos son números complejos divididos .
En física matemática , existen sistemas hipercomplejos llamados álgebras de Clifford . El estudio de funciones con argumentos de un álgebra de Clifford se llama análisis de Clifford .
Una matriz puede considerarse un número hipercomplejo. Por ejemplo, el estudio de funciones de matrices reales 2 × 2 muestra que la topología del espacio de números hipercomplejos determina la teoría de la función. Funciones como la raíz cuadrada de una matriz , la matriz exponencial y el logaritmo de una matriz son ejemplos básicos de análisis hipercomplejo. [1] La teoría de funciones de las matrices diagonalizables es particularmente transparente ya que tienen descomposiciones propias . [2] Supongamosdonde E i son proyecciones . Entonces, para cualquier polinomio
La terminología moderna para un "sistema de números hipercomplejos" es un álgebra sobre los números reales , y las álgebras utilizadas en las aplicaciones son a menudo álgebras de Banach, ya que las secuencias de Cauchy pueden tomarse como convergentes. Entonces, la teoría de funciones se enriquece con secuencias y series . En este contexto se desarrolla la extensión de funciones holomórficas de una variable compleja como el cálculo funcional holomórfico . El análisis hipercomplejo en álgebras de Banach se denomina análisis funcional .
Ver también
Referencias
- ↑ Felix Gantmacher (1959) The Theory of Matrices , dos volúmenes, traductor: Kurt Hirsch , Chelsea Publishing , capítulo 5: funciones de matrices, capítulo 8: raíces y logaritmos de matrices
- ^ Shaw, Ronald (1982) Álgebra lineal y representaciones de grupo , v. 1, § 2.3, Operadores lineales diagonalizables, páginas 78-81, Academic Press ISBN 0-12-639201-3 .
Fuentes
- Daniel Alpay (ed.) (2006) Wavelets, sistemas multiescala y análisis de hipercomplejos , Springer, ISBN 9783764375881 .
- Enrique Ramírez de Arellanon (1998) Teoría del operador para análisis complejos e hipercomplejos , American Mathematical Society (Actas de la conferencia de una reunión en la Ciudad de México en diciembre de 1994).
- Sorin D. Gal (2004) Introducción a la teoría de la función geométrica de variables hipercomplejas , Nova Science Publishers, ISBN 1-59033-398-5 .
- R. Lavika & AG O 'Farrell & I. Short (2007) "Mapas reversibles en el grupo de transformaciones cuaterniónicas de Möbius", Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge 143: 57–69.
- Irene Sabadini y Franciscus Sommen (eds.) (2011) Análisis y aplicaciones de hipercomplejos , Birkhauser Mathematics.
- Irene Sabadini y Michael V. Shapiro y F. Sommen (editores) (2009) Hypercomplex Analysis , Birkhauser ISBN 978-3-7643-9892-7 .
- Sabadini, Sommen, Struppa (eds.) (2012) Avances en el análisis de hipercomplejos , Springer.