En matemáticas , el análisis cuaterniónico es el estudio de funciones con cuaterniones como dominio y / o rango. Estas funciones pueden denominarse funciones de una variable de cuaternión del mismo modo que se denominan funciones de una variable real o una variable compleja .
Al igual que con el análisis complejo y real , es posible estudiar los conceptos de analiticidad , holomorfia , armonicidad y conformalidad en el contexto de los cuaterniones. A diferencia de los números complejos y como los reales , las cuatro nociones no coinciden.
Propiedades
Las proyecciones de un cuaternión en su parte escalar o en su parte vectorial, así como las funciones de módulo y veror , son ejemplos básicos para comprender la estructura del cuaternión.
Un ejemplo importante de una función de una variable de cuaternión es
que rota la parte vectorial de q el doble del ángulo representado por u .
El cuaternión inverso multiplicativo es otra función fundamental, pero al igual que con otros sistemas numéricos, y los problemas relacionados generalmente se excluyen debido a la naturaleza de dividir por cero .
Las transformaciones afines de los cuaterniones tienen la forma
Las transformaciones lineales fraccionales de cuaterniones se pueden representar mediante elementos del anillo de la matriz operando en la línea proyectiva sobre. Por ejemplo, las asignaciones dónde y Son versores fijos que sirven para producir los movimientos del espacio elíptico .
La teoría de la variable cuaternión difiere en algunos aspectos de la teoría de la variable compleja. Por ejemplo: el mapeo conjugado complejo del plano complejo es una herramienta central, pero requiere la introducción de una operación no aritmética ni analítica . De hecho, la conjugación cambia la orientación de las figuras planas, algo que las funciones aritméticas no cambian.
En contraste con el conjugado complejo , la conjugación del cuaternión se puede expresar aritméticamente, como
Esta ecuación se puede probar, comenzando con la base {1, i, j, k}:
- .
En consecuencia, dado que es lineal ,
El éxito del análisis complejo al proporcionar una rica familia de funciones holomórficas para el trabajo científico ha involucrado a algunos investigadores en esfuerzos para extender la teoría planar, basada en números complejos, a un estudio de 4 espacios con funciones de una variable de cuaternión. [1] Estos esfuerzos se resumen en Deavours (1973) . [a]
Aunque aparece como una unión de planos complejos , la siguiente proposición muestra que extender funciones complejas requiere un cuidado especial:
Dejar ser una función de una variable compleja, . Supongamos también quees una función par de y eso es una función extraña de. Luego es una extensión de a una variable de cuaternión dónde y . Entonces, deja representar el conjugado de , así que eso . La extensión a estará completo cuando se demuestre que . De hecho, por hipótesis
- Se obtiene
Homografías
A continuación, se utilizan dos puntos y corchetes para indicar vectores homogéneos .
La rotación sobre el eje r es una aplicación clásica de los cuaterniones al mapeo espacial . [2] En términos de homografía , la rotación se expresa
dónde es un versor . Si p * = - p , entonces la traducción se expresa por
La rotación y traslación xr a lo largo del eje de rotación está dada por
Tal mapeo se llama desplazamiento de tornillo . En cinemática clásica , el teorema de Chasles establece que cualquier movimiento de un cuerpo rígido puede mostrarse como un desplazamiento de tornillo. Así como la representación de una isometría plana euclidiana como una rotación es una cuestión de aritmética de números complejos, el teorema de Chasles, y el eje del tornillo requerido, es una cuestión de aritmética de cuaterniones con homografías: sea s un versor derecho o raíz cuadrada de menos uno, perpendicular ar , con t = rs .
Considere el eje que pasa por sy paralelo ar . La rotación a su alrededor se expresa [3] por la composición de la homografía.
dónde
Ahora, en el plano ( s, t ), el parámetro θ traza un círculo en el semiplano
Cualquier p en este semiplano se encuentra en un rayo desde el origen a través del círculo y se puede escribir
Entonces arriba = az , concomo la homografía que expresa la conjugación de una rotación por una traducción p.
La derivada de los cuaterniones
Desde la época de Hamilton, se ha comprendido que exigir la independencia de la derivada de la trayectoria que sigue un diferencial hacia cero es demasiado restrictivo: excluye inclusode la diferenciación. Por lo tanto, una derivada dependiente de la dirección es necesaria para las funciones de una variable de cuaternión. [4] [5] Considerando el incremento de la función polinomial del argumento cuaterniónico, se muestra que el incremento es un mapa lineal del incremento del argumento. [ dudoso ] A partir de esto, se puede hacer una definición:
Un mapa continuo se llama diferenciable en el set , si, en cada punto , el incremento del mapa se puede representar como
dónde
es un mapa lineal del álgebra de cuaterniones y es un mapa tan continuo que
El mapa lineal se llama la derivada del mapa .
En los cuaterniones, la derivada puede expresarse como
Por tanto, el diferencial del mapa puede expresarse de la siguiente manera con corchetes a cada lado.
El número de términos de la suma dependerá de la función f . Las expresiones se llaman componentes de la derivada.
La derivada de una función cuaterniónica tiene las siguientes igualdades
Para la función f ( x ) = axb , la derivada es
y entonces los componentes son:
De manera similar, para la función f ( x ) = x 2 , la derivada es
y los componentes son:
Finalmente, para la función f ( x ) = x −1 , la derivada es
y los componentes son:
Ver también
- Cayley transform
Notas
- ↑ Deavours (1973) recuerda un número de 1935 de Commentarii Mathematici Helvetici donde Fueter (1936) inició una teoría alternativa de las "funciones regulares" através de la idea del teorema de Morera : función de cuaternión es "dejado regular en "cuando la integral de desaparece sobre cualquier hipersuperficie suficientemente pequeña que contenga. Entonces se cumple el análogo del teorema de Liouville : la única función de cuaternión regular con norma acotada enes una constante. Un enfoque para construir funciones regulares es utilizar series de potencias con coeficientes reales. Deavours también proporciona análogos para la integral de Poisson , la fórmula integral de Cauchy y la presentación de las ecuaciones de electromagnetismo de Maxwell con funciones de cuaternión.
Citas
- ↑ ( Fueter, 1936 )
- ↑ ( Cayley 1848 , especialmente página 198)
- ^ ( Hamilton 1853 , §287 págs. 273,4)
- ↑ ( Hamilton 1866 , Capítulo II, Sobre diferenciales y desarrollos de funciones de cuaterniones, págs. 391–495)
- ↑ ( Laisant 1881 , Chapitre 5: Différentiation des Quaternions, págs. 104-117)
Referencias
- Arnold, Vladimir (1995), traducido por Porteous, Ian R. , "La geometría de las curvas esféricas y el álgebra de los cuaterniones", Encuestas matemáticas rusas , 50 (1): 1-68, doi : 10.1070 / RM1995v050n01ABEH001662 , Zbl 0848.58005
- Cayley, Arthur (1848), "Sobre la aplicación de los cuaterniones a la teoría de la rotación" , London and Edinburgh Philosophical Magazine , Serie 3, 33 (221): 196–200, doi : 10.1080 / 14786444808645844
- Deavours, CA (1973), "The quaternion calculus", American Mathematical Monthly , Washington, DC: Mathematical Association of America, 80 (9): 995–1008, doi : 10.2307 / 2318774 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2318774 , Zbl 0282.30040
- Du Val, Patrick (1964), homografías, cuaterniones y rotaciones , monografías matemáticas de Oxford, Oxford: Clarendon Press, MR 0169108 , Zbl 0128.15403
- Fueter, Rudolf (1936), "Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen", Commentarii Mathematici Helvetici (en alemán), 8 : 371–378, doi : 10.1007 / BF01199562 , Zbl 0014.16702
- Gentili, Graziano; Stoppato, Caterina; Struppa, Daniele C. (2013), Funciones regulares de una variable cuaterniónica , Berlín: Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-33871-7 , ISBN 978-3-642-33870-0, Zbl 1269.30001
- Gormley, PG (1947), "Proyección estereográfica y el grupo fraccional lineal de transformaciones de cuaterniones", Actas de la Real Academia Irlandesa, Sección A , 51 : 67–85, JSTOR 20488472
- Gürlebeck, Klaus; Sprößig, Wolfgang (1990), Análisis cuaterniónico y problemas de valores de frontera elípticos , Basilea: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-2382-0, Zbl 0850.35001
- Hamilton, William Rowan (1853), Conferencias sobre cuaterniones , Dublín: Hodges y Smith, OL 23416635M
- Hamilton, William Rowan (1866), Hamilton, William Edwin (ed.), Elements of Quaternions , Londres: Longmans, Green, & Company, Zbl 1204.01046
- Joly, Charles Jasper (1903), "Cuaterniones y geometría proyectiva", Transacciones filosóficas de la Royal Society of London , 201 (331–345): 223–327, Bibcode : 1903RSPTA.201..223J , doi : 10.1098 / rsta. 1903.0018 , JFM 34.0092.01 , JSTOR 90902
- Laisant, Charles-Ange (1881), Introduction à la Méthode des Quaternions (en francés), París: Gauthier-Villars, JFM 13.0524.02
- Porter, R. Michael (1998), "Geometría de cuaternión invariante de Möbius" (PDF) , Conformal Geometry and Dynamics , 2 (6): 89-196, doi : 10.1090 / S1088-4173-98-00032-0 , Zbl 0910.53005
- Sudbery, A. (1979), "Quaternionic analysis", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 85 (2): 199-225, Bibcode : 1979MPCPS..85..199S , doi : 10.1017 / S0305004100055638 , hdl : 10338. dmlcz / 101933 , Zbl 0399.30038