El análisis de Clifford , que utiliza álgebras de Clifford que llevan el nombre de William Kingdon Clifford , es el estudio de los operadores de Dirac y los operadores de tipo Dirac en análisis y geometría, junto con sus aplicaciones. Ejemplos de operadores de tipo Dirac incluyen, entre otros, el operador Hodge-Dirac,en una variedad de Riemann , el operador de Dirac en el espacio euclidiano y su inverso eny sus equivalentes conformales en la esfera, el Laplaciano en el espacio n euclidiano y el operador Atiyah -Singer-Dirac en una variedad de espín , operadores de tipo Rarita-Schwinger / Stein-Weiss, Laplacianos conformales, Laplacianos espinoriales y operadores de Dirac en las variedades Spin C , sistemas de operadores de Dirac, el operador de Paneitz , los operadores de Dirac en el espacio hiperbólico , las ecuaciones hiperbólicas de Laplacian y Weinstein.
Espacio euclidiano
En el espacio euclidiano, el operador de Dirac tiene la forma
donde e 1 , ..., e n es una base ortonormal para R n , y R n se considera incrustado en un álgebra de Clifford compleja , Cl n ( C ) de modo que e j 2 = −1 .
Esto da
donde Δ n es el laplaciano en n -espacio euclidiano.
La solución fundamental para el operador euclidiano de Dirac es
donde ω n es el área de la superficie de la esfera unitaria S n −1 .
Tenga en cuenta que
dónde
es la solución fundamental de la ecuación de Laplace para n ≥ 3 .
El ejemplo más básico de un operador de Dirac es el operador de Cauchy-Riemann
en el plano complejo. De hecho, muchas propiedades básicas del análisis complejo de una variable se siguen para muchos operadores de tipo Dirac de primer orden. En el espacio euclidiano, esto incluye un teorema de Cauchy , una fórmula integral de Cauchy , el teorema de Morera , la serie de Taylor , la serie de Laurent y el teorema de Liouville . En este caso, el núcleo de Cauchy es G ( x - y ). La prueba de la fórmula integral de Cauchy es la misma que en una variable compleja y hace uso del hecho de que cada vector x distinto de cero en el espacio euclidiano tiene un inverso multiplicativo en el álgebra de Clifford, a saber
Hasta un signo, esta inversa es la inversa de Kelvin de x . Las soluciones de la ecuación euclidiana de Dirac Df = 0 se denominan funciones monogénicas (izquierda). Las funciones monogénicas son casos especiales de espinores armónicos en una variedad de espín .
En 3 y 4 dimensiones, el análisis de Clifford a veces se denomina análisis cuaterniónico . Cuando n = 4 , el operador de Dirac a veces se denomina operador de Cauchy-Riemann-Fueter. Además, algunos aspectos del análisis de Clifford se denominan análisis hipercomplejos.
Análisis Clifford tiene análogos de transformadas de Cauchy , núcleos Bergman , núcleos Szegő , operadores Plemelj , espacios de Hardy , una fórmula Kerzman-Stein y un ¸, o Beurling-Ahlfors , transformar. Todos estos han encontrado aplicaciones en la resolución de problemas de valores de frontera , incluidos problemas de valores de frontera móviles, integrales singulares y análisis armónico clásico . En particular, el análisis de Clifford se ha utilizado para resolver, en ciertos espacios de Sobolev , el problema de la onda de agua completa en 3D. Este método funciona en todas las dimensiones superiores a 2.
Gran parte del análisis de Clifford funciona si reemplazamos el álgebra de Clifford compleja por un álgebra de Clifford real , Cl n . Sin embargo, este no es el caso cuando tenemos que lidiar con la interacción entre el operador de Dirac y la transformada de Fourier .
La transformada de Fourier
Cuando consideramos la mitad superior del espacio R n , + con límite R n −1 , el intervalo de e 1 , ..., e n −1 , bajo la transformada de Fourier el símbolo del operador de Dirac
es iζ donde
En este contexto, las fórmulas de Plemelj son
y los símbolos de estos operadores son, hasta un signo,
Estos son operadores de proyección, también conocidos como idempotentes que se aniquilan mutuamente, en el espacio de funciones integrables cuadradas con valores de Cl n ( C ) en R n −1 .
Tenga en cuenta que
donde R j es el j -ésimo potencial de Riesz,
Como el símbolo de es
se determina fácilmente a partir de la multiplicación de Clifford que
Entonces el operador de convolución es una generalización natural al espacio euclidiano de la transformada de Hilbert .
Suponga que U ′ es un dominio en R n −1 y g ( x ) es una función analítica real valorada en Cl n ( C ) . Entonces g tiene una extensión de Cauchy-Kovalevskaia a la ecuación de Dirac en algún vecindario de U ′ en R n . La extensión viene dada explícitamente por
Cuando esta extensión se aplica a la variable x en
lo conseguimos
es la restricción a R n −1 de E + + E - donde E + es una función monogénica en la mitad superior del espacio y E - es una función monogénica en la mitad inferior del espacio.
También hay un teorema de Paley-Wiener en el espacio n- euclidiano que surge en el análisis de Clifford.
Estructura conforme
Muchos operadores de tipo Dirac tienen una covarianza bajo el cambio conforme en la métrica. Esto es cierto para el operador de Dirac en el espacio euclidiano y el operador de Dirac en la esfera bajo las transformaciones de Möbius. En consecuencia, esto es válido para los operadores de Dirac en colectores conformados planos y múltiples conformados que son simultáneamente múltiples de espín .
Transformada de Cayley (proyección estereográfica)
El Cayley transformada o la proyección estereográfica de R n a la unidad de esfera S n transforma la euclidiana operador Dirac a un operador de Dirac esférica D S . Explícitamente
donde Γ n es el operador esférico de Beltrami – Dirac
y x en S n .
La transformación de Cayley sobre n- espacio es
Su inverso es
Para una función f ( x ) definida en un dominio U en el espacio n- euclidiano y una solución a la ecuación de Dirac , entonces
es aniquilado por D S , en C ( U ) donde
Más
el operador conforme de Laplacian o Yamabe en S n . Explícitamente
dónde es el operador de Laplace-Beltrami en S n . El operadores, a través de la transformada de Cayley, conformemente equivalente al Laplaciano euclidiano. También
es el operador de Paneitz,
en la n- esfera. A través de la transformada Cayley, este operador es conformemente equivalente al bi-laplaciano,. Todos estos son ejemplos de operadores del tipo Dirac.
Transformada de Moebius
Una transformada de Möbius sobre un espacio n- euclidiano se puede expresar como
donde una , b , c y d ∈ Cl n y satisfacen ciertas restricciones. La matriz asociada de 2 × 2 se denomina matriz de Ahlfors-Vahlen. Si
y Df ( y ) = 0 entonces es una solución a la ecuación de Dirac donde
y ~ es un antiautomorfismo básico que actúa sobre el álgebra de Clifford . Los operadores D k , o Δ n k / 2 cuando k es par, exhiben covarianzas similares bajo la transformada de Möbius, incluida la transformada de Cayley .
Cuando ax + b y cx + d no son cero son ambos miembros de la grupo Clifford .
Como
entonces tenemos una opción en el signo al definir J ( M , x ). Esto significa que para una variedad M conformemente plana , necesitamos una estructura de espín en M para definir un haz de espinas en cuyas secciones podemos permitir que actúe un operador de Dirac. Ejemplos simples explícitos incluyen el cilindro n , la variedad de Hopf obtenida del espacio n- euclidiano menos el origen, y generalizaciones de toros con mango k obtenidos de la mitad superior del espacio factorizándolo por acciones de grupos modulares generalizados que actúan totalmente en la mitad superior del espacio. discontinuamente. Se puede introducir un operador de Dirac en estos contextos. Estos operadores de Dirac son ejemplos especiales de operadores Atiyah-Singer-Dirac.
Operador Atiyah – Singer – Dirac
Dada una variedad de espín M con un haz de espinor S y una sección suave s ( x ) en S , entonces, en términos de una base ortonormal local e 1 ( x ), ..., e n ( x ) del haz tangente de M , el operador Atiyah-Singer-Dirac que actúa sobre s se define como
dónde es la conexión de espín , la elevación a S de la conexión de Levi-Civita en M . Cuando M es n -espacio euclidiano, volvemos al operador euclidiano de Dirac .
De un operador D de Atiyah-Singer-Dirac tenemos la fórmula de Lichnerowicz
donde τ es la curvatura escalar en la variedad , y Γ ∗ es el adjunto de Γ. El operador D 2 se conoce como laplaciano espinorial.
Si M es compacto y τ ≥ 0 y τ > 0 en algún lugar, entonces no hay espinores armónicos no triviales en la variedad. Este es el teorema de Lichnerowicz. Se ve fácilmente que el teorema de Lichnerowicz es una generalización del teorema de Liouville a partir de un análisis complejo de una variable. Esto nos permite observar que en el espacio de las secciones de espinor lisas, el operador D es invertible como un colector.
En los casos en los que el operador Atiyah-Singer-Dirac sea invertible en el espacio de secciones de espina lisas con soporte compacto, se puede introducir
donde δ y es la función delta de Dirac evaluada en y . Esto da lugar a un kernel de Cauchy , que es la solución fundamental para este operador de Dirac. De esto se puede obtener una fórmula integral de Cauchy para espinores armónicos . Con este núcleo, gran parte de lo que se describe en la primera sección de esta entrada se aplica a los operadores Atiyah-Singer-Dirac invertibles.
Usando el teorema de Stokes , o de otra manera, se puede determinar además que bajo un cambio conforme de métrica, los operadores de Dirac asociados a cada métrica son proporcionales entre sí y, en consecuencia, también lo son sus inversos, si existen.
Todo esto proporciona vínculos potenciales con la teoría del índice Atiyah-Singer y otros aspectos del análisis geométrico que involucran operadores de tipo Dirac.
Operadores hiperbólicos de tipo Dirac
En el análisis de Clifford también se consideran operadores diferenciales en la mitad superior del espacio, el disco o hipérbola con respecto a la métrica hiperbólica o de Poincaré .
Para la mitad superior del espacio, uno divide el álgebra de Clifford , Cl n en Cl n −1 + Cl n −1 e n . Entonces, para a en Cl n, uno puede expresar a como b + ce n con a , b en Cl n −1 . Uno tiene entonces operadores de proyección P y Q definen de la siguiente P ( un ) = b y Q ( un ) = c . El operador de Hodge-Dirac que actúa sobre una función f con respecto a la métrica hiperbólica en la mitad superior del espacio ahora se define como
- .
En este caso
- .
El operador
es el laplaciano con respecto a la métrica de Poincaré, mientras que el otro operador es un ejemplo de un operador de Weinstein.
El laplaciano hiperbólico es invariante bajo las acciones del grupo conforme, mientras que el operador hiperbólico de Dirac es covariante bajo tales acciones.
Operadores Rarita – Schwinger / Stein – Weiss
Los operadores de Rarita-Schwinger , también conocidos como operadores de Stein-Weiss, surgen en la teoría de la representación para los grupos Spin y Pin . El operador R k es un operador diferencial de primer orden covariante conforme . Aquí k = 0, 1, 2, .... Cuando k = 0, el operador de Rarita-Schwinger es solo el operador de Dirac. En la teoría de la representación para el grupo ortogonal , O ( n ) es común considerar funciones que toman valores en espacios de polinomios armónicos homogéneos . Cuando se refina esta teoría de representación al doble recubrimiento Pin ( n ) de O ( n ), se reemplazan espacios de polinomios armónicos homogéneos por espacios de k soluciones polinomiales homogéneas de la ecuación de Dirac, también conocida como k polinomios monogénicos. Se considera una función f ( x , u ) donde x en U , un dominio en R n y u varía sobre R n . Además, f ( x , u ) es un polinomio k -monogénico en u . Ahora aplicar el operador de Dirac D x en x para f ( x , u ). Ahora, como el álgebra de Clifford no es conmutativa D x f ( x , u ), entonces esta función ya no es k monogénica sino que es un polinomio armónico homogéneo en u . Ahora, para cada polinomio armónico h k homogéneo de grado k hay una descomposición de Almansi-Fischer
donde p k y p k −1 son respectivamente k y k −1 polinomios monogénicos . Deje que P sea la proyección de h k a p k entonces el operador Rarita-Schwinger se define para ser PD k , y se denota por R k . Usando el Lema de Euler se puede determinar que
Entonces
Conferencias y Revistas
Existe una comunidad vibrante e interdisciplinaria alrededor de Clifford y Geometric Algebras con una amplia gama de aplicaciones. Las principales conferencias en esta materia incluyen la Conferencia Internacional sobre Álgebras de Clifford y sus Aplicaciones en Física Matemática (ICCA) y las series Aplicaciones del Álgebra Geométrica en Ciencias de la Computación e Ingeniería (AGACSE) . Un medio de publicación principal es la revista Springer Advances in Applied Clifford Algebras .
Ver también
- Álgebra de Clifford
- Estructura de giro compleja
- Colector conformado
- Colector plano conforme
- Operador de Dirac
- Métrica de Poincaré
- Grupo de giro
- Estructura de giro
- Paquete Spinor
Referencias
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enlaces externos
- Apuntes de clase sobre operadores de Dirac en análisis y geometría
- Calderbank, David MJ (1997-12-19), Operadores de Dirac y análisis de Clifford sobre variedades con límite , Sociedad Matemática Danesa, DMF-1997-12-007 PP-1997-53, archivado desde el original el 13 de agosto de 2009