En matemáticas , una función de una variable motora es una función con argumentos y valores en el plano de números complejos divididos , al igual que las funciones de una variable compleja involucran números complejos ordinarios . William Kingdon Clifford acuñó el término motor para un operador cinemático en su "Bosquejo preliminar de Biquaternions" (1873). Usó números complejos divididos para escalares en sus biquaternions divididos . La variable motora se usa aquí en lugar de la variable compleja dividida para eufonía y tradición.
Por ejemplo,
Las funciones de una variable de motor proporcionan un contexto para ampliar el análisis real y proporcionar una representación compacta de las asignaciones del plano. Sin embargo, la teoría está muy por debajo de la teoría de funciones en el plano complejo ordinario . Sin embargo, algunos de los aspectos del análisis complejo convencional tienen una interpretación dada con variables motoras, y más generalmente en análisis hipercomplejos .
Funciones elementales de una variable motora
Sea D =, el plano del complejo dividido. Las siguientes funciones ejemplares f tienen dominio y rango en D :
La acción de un versor hiperbólico se combina con la traducción para producir la transformación afín
- . Cuando c = 0, la función es equivalente a un mapeo de compresión .
La función cuadrática no tiene analogía con la aritmética compleja ordinaria. Dejar
- y nota que
El resultado es que los cuatro cuadrantes se mapean en uno, el componente de identidad :
- .
Tenga en cuenta que forma la unidad hipérbola . Por lo tanto, la reciprocidad
involucra la hipérbola como curva de referencia en oposición al círculo en C.
En el plano complejo extendido, uno tiene la clase de funciones llamadas transformaciones de Möbius :
Usando el concepto de una línea proyectiva sobre un anillo , la línea proyectiva P ( D ) es formada y actuada por el grupo de homografías GL (2, D ). La construcción utiliza coordenadas homogéneas con componentes de números complejos divididos.
En el plano complejo ordinario, la transformada de Cayley lleva el semiplano superior al disco unitario , limitándolo así. Un mapeo del componente de identidad U 1 en un rectángulo proporciona una acción de delimitación comparable:
donde T = { z = x + j y : | y | < x <1 o | y | <2 - x cuando 1 ≤ x <2}.
Exp, log y raíz cuadrada
La función exponencial lleva todo el plano D a U 1 :
- .
Por tanto, cuando x = b j, entonces e x es un versor hiperbólico. Para la variable general del motor z = a + b j, uno tiene
- .
En la teoría de funciones de una variable motora se debe prestar especial atención a las funciones de raíz cuadrada y logaritmo. En particular, el plano de números de división-complejo consta de cuatro componentes conectados y el conjunto de puntos singulares que no tienen inversa: las diagonales z = x ± x j, x ∈ R . El componente de identidad , a saber, { z : x > | y | }, es el rango de la función de elevación al cuadrado y la exponencial. Por lo tanto, es el dominio de las funciones de raíz cuadrada y logaritmo. Los otros tres cuadrantes no pertenecen al dominio porque la raíz cuadrada y el logaritmo se definen como inversos uno a uno de la función cuadrante y la función exponencial.
Motter & Rosa dan una descripción gráfica del logaritmo de D en su artículo "Hyperbolic Calculus" (1998). [1]
Funciones D-holomorfas
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann que caracterizan las funciones holomorfas en un dominio en el plano complejo tienen un análogo para las funciones de una variable motora. Motter & Rossa dieron una aproximación a las funciones D-holomórficas usando una derivada de Wirtinger : [1] La función f = u + j v se llama D-holomórfica cuando
Al considerar componentes reales e imaginarios, una función D-holomórfica satisface
Estas ecuaciones fueron publicadas [2] en 1893 por Georg Scheffers , por lo que se han denominado "condiciones de Scheffers". [3]
El enfoque comparable en la teoría de la función armónica se puede ver en un texto de Peter Duren. [4] Es evidente que los componentes U y V de una función D-holomorphic f satisfacen la ecuación de onda , asociada a D'Alembert , mientras que los componentes de funciones C-holomorphic satisface la ecuación de Laplace .
Lecciones de la Plata
En la Universidad Nacional de La Plata en 1935, JC Vignaux, experto en convergencia de series infinitas , aportó cuatro artículos sobre la variable motora a la revista anual de la universidad. [5] Es el único autor de la introductoria y consultó con su jefe de departamento A. Durañona y Vedia sobre las demás. En "Sobre las series de numeros complejos hiperbolicos" dice (p. 123):
- Este sistema de números complejos hiperbólicos [variables motoras] es la suma directa de dos campos isomorfos al campo de los números reales; esta propiedad permite explicar la teoría de series y funciones de la variable compleja hiperbólica mediante el uso de propiedades del campo de números reales.
Luego procede, por ejemplo, a generalizar los teoremas debidos a Cauchy, Abel, Mertens y Hardy al dominio de la variable motora.
En el artículo principal, citado a continuación, considera las funciones D-holomorfas y la satisfacción de la ecuación de d'Alembert por sus componentes. Él llama un rectángulo con lados paralelos a las diagonales y = x y y = - x , un rectángulo isotrópico ya que sus lados están en líneas isotrópicas . Concluye su resumen con estas palabras:
- Los rectángulos isotrópicos juegan un papel fundamental en esta teoría ya que forman los dominios de existencia de funciones holomórficas, dominios de convergencia de series de potencia y dominios de convergencia de series funcionales.
Vignaux completó su serie con una nota de seis páginas sobre la aproximación de funciones D-holomorfas en un rectángulo isotrópico unitario por polinomios de Bernstein . Si bien hay algunos errores tipográficos, así como un par de tropiezos técnicos en esta serie, Vignaux logró establecer las líneas principales de la teoría que se encuentra entre el análisis complejo real y ordinario. El texto es especialmente impresionante como documento instructivo para estudiantes y profesores debido a su ejemplar desarrollo a partir de elementos. Además, toda la excursión tiene sus raíces en "su relación con la geometría de Émile Borel " para respaldar su motivación.
Variable bireal
En 1892 Corrado Segre recordó el álgebra tessarina como números bicomplejos . [6] Naturalmente, la subálgebra de los tesarinos reales surgió y se denominó números bireales .
En 1946, U. Bencivenga publicó un ensayo [7] sobre los números duales y los números complejos divididos en el que utilizó el término número bireal. También describió parte de la teoría de la función de la variable bireal. El ensayo fue estudiado en la Universidad de British Columbia en 1949 cuando Geoffrey Fox escribió su tesis de maestría "Teoría de la función elemental de una variable hipercompleja y la teoría del mapeo conforme en el plano hiperbólico". En la página 46 Fox informa "Bencivenga ha demostrado que una función de una variable bireal mapea el plano hiperbólico en sí misma de tal manera que, en aquellos puntos para los que la derivada de una función existe y no desaparece, los ángulos hiperbólicos se conservan en la cartografía".
G. Fox procede a proporcionar la descomposición polar de una variable bireal y analiza la ortogonalidad hiperbólica . Partiendo de una definición diferente, demuestra en la página 57
- Teorema 3.42: Dos vectores son mutuamente ortogonales si y solo si sus vectores unitarios son mutuamente reflejos entre sí en una u otra de las líneas diagonales que pasan por 0.
Fox se centra en las "transformaciones bilineales" , dónde son constantes bireales. Para hacer frente a la singularidad, aumenta el plano con un solo punto en el infinito (página 73).
Entre sus novedosas contribuciones a la teoría de la función se encuentra el concepto de sistema interconectado . Fox demuestra que para un bireal k satisfactorio
- ( a - b ) 2 <| k | <( a + b ) 2
las hipérbolas
- | z | = a 2 y | z - k | = b 2
no se cruzan (forman un sistema interconectado). Luego muestra que esta propiedad se conserva mediante transformaciones bilineales de una variable bireal.
Compactación
La función inversa multiplicativa es tan importante que se toman medidas extremas para incluirla en los mapeos de geometría diferencial . Por ejemplo, el plano complejo se enrolla hasta la esfera de Riemann para la aritmética compleja ordinaria. Para la aritmética de complejo dividido, se usa un hiperboloide en lugar de una esfera:Al igual que con la esfera de Riemann, el método es la proyección estereográfica de P = (0, 0, 1) a través de t = ( x , y , 0) al hiperboloide. La línea L = Pt está parametrizada por s ende modo que pasa P cuando s es cero yt cuando s es uno.
De H ∩ L se sigue que
Si t está en el cono nulo , entonces s = 2 y (2 x , ± 2 x , - 1) está en H , los puntos opuestos (2 x , ± 2 x , 1) forman el cono de luz en el infinito que es la imagen del cono nulo bajo inversión.
Tenga en cuenta que para t con s es negativo. La implicación es que la parte posterior de rayos a través de P a t proporciona el punto en H . Estos puntos t están arriba y abajo de la hipérbola conjugada a la hipérbola unitaria.
La compactación debe completarse en P 3 R con coordenadas homogéneas ( w, x, y, z ) donde w = 1 especifica el espacio afín ( x, y, z ) utilizado hasta ahora. El hiperboloide H se absorbe en la cónica proyectivaque es un espacio compacto .
Walter Benz realizó la compactación utilizando un mapeo de Hans Beck. Isaak Yaglom ilustró una compactación de dos pasos como la anterior, pero con el plano del complejo dividido tangente al hiperboloide. [8] En 2015, Emanuello & Nolder realizaron la compactación incrustando primero el plano motor en un toro y luego haciéndolo proyectivo identificando los puntos antípodas . [9]
Referencias
- ^ a b A.E. Motter & MAF Rosa (1998) "Cálculo hiperbólico", Avances en álgebras de Clifford aplicadas 8 (1): 109-28
- ^ Georg Scheffers (1893) "Verallgemeinerung der Grundlagen der gewohnlichen komplexen Funktionen", Sitzungsberichte Sachs. Ges. Wiss, Math-Phys Klasse Bd 45 S. 828-42
- ^ Isaak Yaglom (1988) Felix Klein y Sophus Lie, La evolución de la idea de simetría en el siglo XIX , Birkhäuser Verlag , p. 203
- ^ Peter Duren (2004) Mapeos armónicos en el plano , págs. 3, 4, Cambridge University Press
- ^ Vignaux, JC & A. Durañona y Vedia (1935) "Sobre la teoría de las funciones de una variable compleja hiperbólica", Contribución al Estudio de las Ciencias Físicas y Matemáticas , págs. 139-184, Universidad Nacional de La Plata , República Argentina
- ^ G. Baley Price (1991) Una introducción a los espacios y funciones multicomplejos , Marcel Dekker ISBN 0-8247-8345-X
- ^ Bencivenga, U. (1946) "Sulla Rappresentazione Geometrica Della Algebre Doppie Dotate Di Modulo", Atti. Accad. Sci. Napoli Ser (3) v.2 No 7
- ^ Yaglom, Isaak M. (1979). Una geometría simple no euclidiana y su base física: una explicación elemental de la geometría galilea y el principio de relatividad galileano . Abe Shenitzer (traductor). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90332-1.
- ^ John A. Emanuello y Craig A. Nolder (2015) "Compactación proyectiva de R 1,1 y su geometría de Möbius", Análisis complejo y teoría del operador 9 (2): 329-54
- Francesco Catoni, Dino Boccaletti y Roberto Cannata (2008) Matemáticas del espacio-tiempo de Minkowski , Birkhäuser Verlag , Basilea. Capítulo 7: Funciones de una variable hiperbólica.