En geometría diferencial , un colector hipercompleja es un colector con el paquete de la tangente equipado con una acción por el álgebra de cuaterniones de tal manera que los cuaternionesdefinir estructuras integrables casi complejas .
Si, en cambio, no se supone que las estructuras casi complejas sean integrables, la variedad se denomina cuaterniónica o casi hipercompleja. [1]
Ejemplos de
Cada variedad Hyperkähler también es hipercompleja. Lo contrario no es cierto. La superficie Hopf
(con actuando como una multiplicación por un cuaternión , ) es hipercomplejo, pero no Kähler , por lo tanto tampoco hiperkähler . Para ver que la superficie Hopf no es de Kähler, observe que es difeomórfica a un productode ahí que su extraño grupo de cohomología sea de dimensiones impares. Por descomposición de Hodge , la cohomología impar de una variedad Kähler compacta es siempre de dimensión par. De hecho, Hidekiyo Wakakuwa demostró [2] que en un colector compacto Hyperkähler . Misha Verbitsky ha demostrado que cualquier colector hipercomplejo compacto que admita una estructura de Kähler también es hiperkähler. [3]
En 1988, los físicos Philippe Spindel, Alexander Sevrin, Walter Troost y Antoine Van Proeyen construyeron estructuras hipercomplejas invariantes a la izquierda en algunos grupos de Lie compactos. En 1992, Dominic Joyce redescubrió esta construcción y dio una clasificación completa de estructuras hipercomplejas invariantes a la izquierda en grupos de Lie compactos. Aquí está la lista completa.
dónde denota un -Torus compacto dimensional.
Es notable que cualquier grupo de Lie compacto se vuelva hipercomplejo después de multiplicarse por un toro suficientemente grande.
Propiedades básicas
Las variedades hipercomplejas como tales fueron estudiadas por Charles Boyer en 1988. También demostró que en la dimensión real 4, las únicas variedades hipercomplejas compactas son el toro complejo , la superficie Hopf y la superficie K3 .
Mucho antes (en 1955) Morio Obata estudió la conexión afín asociada con estructuras casi hipercomplejas (bajo la antigua terminología de Charles Ehresmann [4] de estructuras casi cuaterniónicas ). Su construcción conduce a lo que Edmond Bonan llamó la conexión de Obata [5] [6] que es libre de torsión , si y solo si, "dos" de las estructuras casi complejas son integrables y en este caso la variedad es hipercompleja.
Espacios de twistor
Hay una esfera bidimensional de cuaterniones. satisfactorio . Cada uno de estos cuaterniones da una estructura compleja en un colector hipercompleja M . Esto define una estructura casi compleja en la variedad, que tiene fibra sobre con fibras identificadas con . Esta estructura compleja es integrable, como se desprende del teorema de Obata (esto fue demostrado explícitamente por primera vez por Dmitry Kaledin [7] ). Esta variedad compleja se llama espacio twistor de. Si M es, entonces su espacio twistor es isomorfo a .
Ver también
Referencias
- ↑ Manev, Mancho; Sekigawa, Kouei (2008). "Algunos colectores pseudo-hermitianos casi hipercomplejos de cuatro dimensiones". En S. Dimiev y K. Sekigawa (ed.). Aspectos contemporáneos del análisis complejo, geometría diferencial y física matemática . Aspectos contemporáneos del análisis complejo, geometría diferencial y física matemática . 2005 . Hackensack, Nueva Jersey: World Sci. Publ. págs. 174-186. arXiv : 0804.2814 . doi : 10.1142 / 9789812701763_0016 . ISBN 978-981-256-390-3.
- ^ Wakakuwa, Hidekiyo (1958), "Sobre variedades de Riemann con un grupo de holonomía homogéneo Sp (n)", Tôhoku Mathematical Journal , 10 (3): 274-303, doi : 10.2748 / tmj / 1178244665.
- ^ Verbitsky, Misha (2005), "Estructuras hipercomplejas en variedades de Kaehler", GAFA , 15 (6): 1275–1283, arXiv : math / 0406390 , doi : 10.1007 / s00039-005-0537-4
- ^ Ehresmann, Charles (1947), "Sur la théorie des espaces fibrés", Coll. Cima. Alg., París.
- ^ Bonan, Edmond (1964), "Tenseur de structure d'une variété presque quaternionienne", CR Acad. Sci. París , 259 : 45–48
- ^ Bonan, Edmond (1967), "Sur les G -tructure de type quaternionien" (PDF) , Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques , 9.4 : 389–463.
- ^ Kaledin, Dmitry (1996). "Integrabilidad del espacio twistor para un colector hipercomplejo". arXiv : alg-geom / 9612016 .
- Boyer, Charles P. (1988), "Una nota sobre las cuatro variedades hiperhermitianas ", Proceedings of the American Mathematical Society , 102 (1): 157-164, doi : 10.1090 / s0002-9939-1988-0915736-8.
- Joyce, Dominic (1992), "Compactos hipercomplejos y variedades cuaterniónicas", Journal of Differential Geometry , 35 (3): 743–761, doi : 10.4310 / jdg / 1214448266.
- Obata, Morio (1955), "Conexiones afines en variedades con estructura casi compleja, cuaterniónica o hermitiana", Japanese Journal of Mathematics , 26 : 43-79.
- Spindel, Ph .; Sevrin, A .; Troost, W .; Van Proeyen, A. (1988), "Extended supersymmetric-modelos en colectores de grupo ", Física nuclear , B308 : 662–698.