Espacio twistor

En matemáticas y física teórica (especialmente en la teoría de twistor ), el espacio de twistor es el espacio vectorial complejo de soluciones de la ecuación de twistor . Fue descrito en la década de 1960 por Roger Penrose y Malcolm MacCallum. ^[1] Según Andrew Hodges , el espacio de twistor es útil para conceptualizar la forma en que los fotones viajan a través del espacio, utilizando cuatro números complejos . También postula que el espacio de twistor puede ayudar a comprender la asimetría de la fuerza nuclear débil . ^[2]${\displaystyle \nabla _{A'}^{(A}\Omega _{^{}}^{B)}=0}$

Motivación informal

En las palabras (traducidas) de Jacques Hadamard : "el camino más corto entre dos verdades en el dominio real pasa por el dominio complejo". Por lo tanto, al estudiar el espacio tetradimensional podría ser valioso identificarlo con Sin embargo, dado que no existe una forma canónica de hacerlo, en su lugar se consideran todos los isomorfismos que respetan la orientación y la métrica entre los dos. Resulta que el complejo tridimensional proyectivo parametriza tales isomorfismos junto con coordenadas complejas. Así, una coordenada compleja describe la identificación y las otras dos describen un punto en . Resulta que los paquetes vectoriales con conexiones auto-duales en (${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$instantons ) corresponden biyectivamente a paquetes holomorfos en complejos espacios proyectivos de 3${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}.}$

Definicion formal

Para el espacio de Minkowski , denotado , las soluciones de la ecuación de twistor son de la forma${\displaystyle \mathbb {M} }$

${\displaystyle \Omega ^{A}(x)=\omega ^{A}-ix^{AA'}\pi _{A'}}$

donde y son dos espinores de Weyl constantes y es un punto en el espacio de Minkowski. El son las matrices de Pauli , con los índices en las matrices. Este espacio twistor es un espacio vectorial complejo de cuatro dimensiones, cuyos puntos se denotan por y con una forma hermitiana${\displaystyle \omega ^{A}}$${\displaystyle \pi _{A'}}$${\displaystyle x^{AA'}=\sigma _{\mu }^{AA'}x^{\mu }}$${\displaystyle \sigma _{\mu }=(I,{\vec {\sigma }})}$${\displaystyle A,A^{\prime }=1,2}$${\displaystyle Z^{\alpha }=(\omega ^{A},\pi _{A'})}$

${\displaystyle \Sigma (Z)=\omega ^{A}{\bar {\pi }}_{A}+{\bar {\omega }}^{A'}\pi _{A'}}$

que es invariante bajo el grupo SU (2,2) que es una cubierta cuádruple del grupo conforme C (1,3) del espaciotiempo compacto de Minkowski.

Los puntos en el espacio de Minkowski están relacionados con subespacios del espacio twistor a través de la relación de incidencia

${\displaystyle \omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.}$

Esta relación de incidencia se conserva bajo una reescalada general del twistor, por lo que generalmente se trabaja en el espacio proyectivo de twistor, denotado , que es isomorfo como una variedad compleja de .${\displaystyle \mathbb {PT} }$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$

Dado un punto , está relacionado con una línea en el espacio proyectivo de twistor donde podemos ver la relación de incidencia como dando la incrustación lineal de un parametrizado por .${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle \pi _{A'}}$

La relación geométrica entre el espacio proyectivo de twistor y el espacio de Minkowski compactado y complejo es la misma que la relación entre líneas y dos planos en el espacio de twistor; más precisamente, el espacio de twistor es

${\displaystyle \mathbb {T} :=\mathbb {C} ^{4}.}$

Se le ha asociado la doble fibración de colectores bandera donde se encuentra el espacio proyectivo twistor${\displaystyle \mathbb {P} \xleftarrow {\mu } \mathbb {F} \xrightarrow {\nu } \mathbb {M} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle \mathbb {P} =F_{1}(\mathbb {T} )=\mathbb {CP} ^{3}=\mathbf {P} (\mathbb {C} ^{4})}$

y es el espacio compacto de Minkowski complexificado${\displaystyle \mathbb {M} }$

${\displaystyle \mathbb {M} =F_{2}(\mathbb {T} )=\operatorname {Gr} _{2}(\mathbb {C} ^{4})=\operatorname {Gr} _{2,4}(\mathbb {C} )}$

y el espacio de correspondencia entre y es${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {M} }$

${\displaystyle \mathbb {F} =F_{1,2}(\mathbb {T} )}$

En lo anterior, representa el espacio proyectivo , un Grassmannian y una variedad de banderas . La doble fibración da lugar a dos correspondencias (véase también la transformada de Penrose ), y${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \operatorname {Gr} }$${\displaystyle F}$${\displaystyle c=\nu \circ \mu ^{-1}}$${\displaystyle c^{-1}=\mu \circ \nu ^{-1}.}$

El espacio compacto de Minkowski complexificado está incrustado por la incrustación de Plücker ; la imagen es la cuadrática de Klein .${\displaystyle \mathbb {M} }$${\displaystyle \mathbf {P} _{5}\cong \mathbf {P} (\wedge ^{2}\mathbb {T} )}$

Referencias

1. R. Penrose y MAH MacCallum, Teoría de Twistor: un enfoque para la cuantificación de campos y espacio-tiempo. doi : 10.1016 / 0370-1573 (73) 90008-2
2. Andrew Hodges (14 de mayo de 2010). Uno a nueve: la vida interior de los números . Doubleday Canadá. pag. 142. ISBN 978-0-385-67266-5.

• Ward, RS y Wells, Raymond O. Jr. , Geometría de Twistor y teoría de campo , Cambridge University Press (1991). ISBN 0-521-42268-X . 
• Huggett, SA y Tod, KP, Introducción a la teoría de twistor , Cambridge University Press (1994). ISBN 978-0-521-45689-0 .