En álgebra homológica , la hiperhomología o hipercohomología () es una generalización de los functores de (co) homología que toma como entrada no objetos en una categoría abeliana sino que encadenan complejos de objetos, por lo que los objetos en . Es una especie de cruce entre la cohomología del functor derivado de un objeto y la homología de un complejo de cadena, ya que la hipercohomología corresponde al functor de secciones globales derivadas..
La hiperhomología ya no se usa mucho: desde aproximadamente 1970 ha sido reemplazada en gran medida por el concepto aproximadamente equivalente de un funtor derivado entre categorías derivadas .
Motivación
Una de las motivaciones de la hipercohomología proviene del hecho de que no existe una generalización obvia de secuencias cohomológicas largas exactas asociadas a secuencias cortas exactas.
es decir, hay una secuencia exacta larga asociada
Resulta que la hipercohomología proporciona técnicas para construir una secuencia larga exacta asociada cohomológica similar a partir de una secuencia larga exacta arbitraria.
ya que sus entradas están dadas por complejos de cadena en lugar de solo objetos de una categoría abeliana. Podemos convertir este complejo de cadenas en un triángulo distinguido (usando el lenguaje de categorías trianguladas en una categoría derivada)
que denotamos por
Luego, tomando secciones globales derivadas da una secuencia larga exacta, que es una secuencia larga exacta de grupos de hipercohomología.
Definición
Damos la definición de hipercohomología ya que es más común. Como es habitual, la hipercohomología y la hiperhomología son esencialmente lo mismo: una se convierte de una a otra mediante la dualización, es decir, cambiando la dirección de todas las flechas, reemplazando los objetos inyectivos por proyectivos, etc.
Supongamos que A es una categoría abeliana con suficientes inyectivos y F un funtor exacto izquierda a otra categoría abeliana B . Si C es un complejo de objetos de A limitado a la izquierda, la hipercohomología
- H i ( C )
de C (para un entero i ) se calcula de la siguiente manera:
- Tome un cuasi-isomorfismo Φ : C → I , aquí me es un complejo de elementos de inyectivos A .
- La hipercohomología H i ( C ) de C es entonces la cohomología H i ( F ( I )) del complejo F ( I ).
La hipercohomología de C es independiente de la elección del cuasi-isomorfismo , hasta isomorfismos únicos.
El hipercohomología también se puede definir usando categorías derivadas : la hipercohomología de C es sólo el cohomology de RF ( C ) considerado como un elemento de la categoría derivada de B .
Para los complejos que se desvanecen para los índices negativos, la hipercohomología se puede definir como los funtores derivados de H 0 = FH 0 = H 0 F .
Las secuencias espectrales de hipercohomología
Hay dos secuencias espectrales de hipercohomología ; uno con término E 2
y el otro con E 1 término
y E 2 término
ambos convergiendo a la hipercohomología
- ,
donde R j F es un funtor derivado derecha de F .
Aplicaciones
Una aplicación de las secuencias espectrales de hipercohomología está en el estudio de los gerbios . Recuerde que los paquetes de vectores de rango n en un espacio puede clasificarse como el grupo Cech-cohomology . La idea principal detrás de los gerbios es extender esta idea de manera cohomológica, por lo que en lugar de tomar para algun functor , en cambio, consideramos el grupo de cohomología , por lo que clasifica los objetos que están pegados por objetos en el grupo de clasificación original. Un tema estrechamente relacionado que estudia los gerbios y la hipercohomología es la cohomología de Deligne .
Ejemplos de
- Para una variedad X sobre un campo k , la segunda secuencia espectral de arriba da la secuencia espectral de Hodge-de Rham para la cohomología algebraica de Rham :
- .
- Otro ejemplo proviene del complejo logarítmico holomórfico en una variedad compleja. Sea X una variedad algebraica compleja yuna buena compactificación. Esto significa que Y es una variedad algebraica compacta y es un divisor en con simples cruces normales. La inclusión natural de complejos de gavillas.
resulta ser un cuasi-isomorfismo e induce un isomorfismo
- .
Ver también
Referencias
- H. Cartan, S. Eilenberg, Álgebra homológica ISBN 0-691-04991-2
- VI Danilov (2001) [1994], "Functor de hiperhomología" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
- A. Grothendieck, Sur quelques points d'algèbre homologique Tohoku Math. J. 9 (1957) págs. 119-221