Paquete tautológico

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En matemáticas , el haz tautológica es un paquete del vector que ocurre durante un Grassmannian de una manera tautológica natural: por un Grassmannian de - dimensionales subespacios de , dado un punto en el Grassmannian correspondiente a un subespacio vectorial -dimensional , la fibra sobre es el subespacio propio . En el caso del espacio proyectivo, el paquete tautológico se conoce como paquete de líneas tautológicas.${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle W \ subseteq V}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle W}$

El paquete tautológico también se denomina paquete universal, ya que cualquier paquete de vectores (sobre un espacio compacto ^[1] ) es un retroceso del paquete tautológico; es decir, Grassmannian es un espacio de clasificación para paquetes de vectores. Debido a esto, el paquete tautológico es importante en el estudio de clases características .

Los paquetes tautológicos se construyen tanto en topología algebraica como en geometría algebraica. En geometría algebraica, el haz de líneas tautológicas (como haz invertible ) es

el dual del paquete hiperplano o el haz giratorio de Serre . El paquete de hiperplano es el paquete de líneas correspondiente al hiperplano ( divisor ) en El paquete de líneas tautológicas y el paquete de hiperplano son exactamente los dos generadores del grupo Picard del espacio proyectivo. ^[2]${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (1)}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n-1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

En la "teoría K" de Michael Atiyah , el conjunto de líneas tautológicas sobre un espacio proyectivo complejo se denomina conjunto de líneas estándar . El paquete de esferas del paquete estándar generalmente se llama paquete de Hopf . (cf. generador de Bott .)

De manera más general, también hay paquetes tautológicos en un paquete proyectivo de un paquete de vectores, así como en un paquete de Grassmann .

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