es la descomposición de suma directa asociada con la gradación. El ideal irrelevante de es el ideal de elementos de grado positivo
Decimos que un ideal es homogéneo si es generado por elementos homogéneos. Luego, como conjunto,
Por brevedad, a veces escribiremos por .
Proyecto como espacio topológico
Podemos definir una topología , llamada topología de Zariski , en definiendo los conjuntos cerrados como los de la forma
dónde es un ideal homogéneo de. Al igual que en el caso de los regímenes afines, se verifica rápidamente que elforman los conjuntos cerrados de una topología en.
De hecho, si somos una familia de ideales, entonces tenemos y si el conjunto de indexación I es finito, entonces.
De manera equivalente, podemos tomar los conjuntos abiertos como punto de partida y definir
Una abreviatura común es denotar D ( Sf ) por D ( f ), donde Sf es el ideal generado por f . Para cualquier ideal a , los conjuntos D ( a ) y V ( a ) son complementarios y, por tanto, la misma prueba que antes muestra que los conjuntos D ( a ) forman una topología en. La ventaja de este enfoque es que los conjuntos D ( f ), donde f varía sobre todos los elementos homogéneos del anillo S , forman una base para esta topología, que es una herramienta indispensable para el análisis de, así como el hecho análogo para el espectro de un anillo es igualmente indispensable.
Proyecto como esquema
También construimos una gavilla sobre, llamado el "haz de estructura" como en el caso afín, lo que lo convierte en un esquema . Como en el caso de la construcción de Spec, hay muchas formas de proceder: la más directa, que también sugiere mucho la construcción de funciones regulares en una variedad proyectiva en la geometría algebraica clásica, es la siguiente. Para cualquier set abierto de (que es por definición un conjunto de ideales primos homogéneos de no contiene ) definimos el anillo ser el conjunto de todas las funciones
(dónde denota el subanillo del anillo de fracciones consiste en fracciones de elementos homogéneos del mismo grado) de modo que para cada ideal primo de :
es un elemento de ;
Existe un subconjunto abierto conteniendo y elementos homogéneos de del mismo grado de tal manera que para cada ideal primo de :
no está dentro ;
De la definición se desprende inmediatamente que el formar un fajo de anillos en , y se puede demostrar que el par (, ) es de hecho un esquema (esto se logra mostrando que cada uno de los subconjuntos abiertos es de hecho un esquema afín).
La gavilla asociada a un módulo graduado
La propiedad esencial de para la construcción anterior fue la capacidad de formar localizaciones para cada ideal principal de . Esta propiedad también la posee cualquier módulo calificado encima , y por lo tanto, con las modificaciones menores apropiadas, la sección anterior construye para tales una gavilla, denotada , de -módulos en . Esta gavilla es cuasicoherente por construcción. Si es generado por un número finito de elementos de grado (por ejemplo, un anillo polinomial o un cociente homogéneo del mismo), todas las poleas cuasicoherentes en surgen de módulos graduados por esta construcción. [1] El módulo calificado correspondiente no es único.
La gavilla retorcida de Serre
Para obtener información relacionada y la clásica gavilla giratoria de Serre, consulte el paquete tautológico
Un caso especial de la gavilla asociada a un módulo graduado es cuando tomamos ser - estar sí mismo con una calificación diferente: es decir, dejamos que el título elementos de ser el grado elementos de , entonces
y denotar . Entonces obtenemos como una gavilla cuasicoherente en , denotado o simplemente , llamado la gavilla retorcida de Serre . Se puede comprobar que es de hecho una gavilla invertible .
Una de las razones de la utilidad de es que recupera la información algebraica de que se perdió cuando, en la construcción de , pasamos a fracciones de grado cero. En el caso de la Especificación A para un anillo A , las secciones globales del haz de estructura forman A sí mismo, mientras que las secciones globales de aquí forman sólo los elementos de grado cero de . Si definimos
entonces cada contiene el grado Información sobre , denotado y, en conjunto, contienen toda la información de calificación que se perdió. Del mismo modo, para cualquier fajo de-módulos definimos
y espere que esta gavilla "retorcida" contenga información de clasificación sobre . En particular, si es la gavilla asociada a un graduado -módulo Asimismo, esperamos que contenga información de calificación perdida sobre . Esto sugiere, aunque erróneamente, quede hecho, se puede reconstruir a partir de estas gavillas; como
Si es un anillo, definimos n -espacio proyectivo sobreser el esquema
La clasificación en el anillo polinomial se define dejando que cada tener grado uno y todos los elementos de , grado cero. Comparando esto con la definición de, arriba, vemos que las secciones de son de hecho polinomios lineales homogéneos, generados por el ellos mismos. Esto sugiere otra interpretación de, es decir, como el haz de "coordenadas" para , ya que el son literalmente las coordenadas de proyectiva -espacio.
Ejemplos de Proj
Proy sobre la línea afín
Si dejamos que el anillo base sea , luego
tiene un morfismo proyectivo canónico a la línea afín cuyas fibras son curvas elípticas excepto en los puntos donde las curvas degeneran en curvas nodales. Entonces hay una fibracion
La hipersuperficie proyectivaes un ejemplo de una triple quintica de Fermat que también es una variedad Calabi-Yau . Además de las hipersuperficies proyectivas, cualquier variedad proyectiva cortada por un sistema de polinomios homogéneos
en -Las variables se pueden convertir en un esquema proyectivo usando la construcción de proy para el álgebra graduada
dando una incrustación de variedades proyectivas en esquemas proyectivos.
Espacio proyectivo ponderado
Los espacios proyectivos ponderados se pueden construir utilizando un anillo polinomial cuyas variables tienen grados no estándar. Por ejemplo, el espacio proyectivo ponderado corresponde a tomar del anillo dónde tener peso tiempo tiene peso 2.
Anillos de Bigraded
La construcción del proyecto se extiende a grandes anillos y multigrado. Geométricamente, esto corresponde a tomar productos de esquemas proyectivos. Por ejemplo, dados los anillos graduados
con el grado de cada generador . Entonces, el producto tensorial de estas álgebras sobre da el álgebra bigraded
donde el tener peso y el tener peso . Entonces la construcción del proyecto da
que es producto de esquemas proyectivos. Hay una incrustación de tales esquemas en el espacio proyectivo tomando el álgebra calificada total
donde un grado el elemento se considera un grado elemento. Esto significa el -ésima pieza calificada de es el modulo
Además, el esquema ahora viene con gavillas grandes que son el producto tensorial de las poleas dónde
y
son las proyecciones canónicas que provienen de las inyecciones de estas álgebras del diagrama de producto tensorial de las álgebras conmutativas.
Proyecto Global
Una generalización de la construcción de Proj reemplaza el anillo S con un haz de álgebras y produce, como resultado final, un esquema que podría considerarse como una fibración de Proj de anillos. Esta construcción se usa a menudo, por ejemplo, para construir paquetes de espacio proyectivo sobre un esquema básico .
Supuestos
Formalmente, sea X cualquier esquema y S un haz de-álgebras (cuya definición es similar a la definición de -módulos en un espacio anillado localmente ): es decir, una gavilla con una descomposición de suma directa
donde cada es un -módulo tal que para cada subconjunto abierto U de X , S ( U ) es un-álgebra y la descomposición de suma directa resultante
es una calificación de este álgebra como un anillo. Aquí asumimos que. Hacemos el supuesto adicional de que S es una gavilla casi coherente ; esta es una suposición de “consistencia” en las secciones sobre diferentes conjuntos abiertos que es necesaria para que la construcción continúe.
Construcción
En esta configuración podemos construir un esquema y un mapa de "proyección" p sobre X tal que para cada afín abierto U de X ,
Esta definición sugiere que construimos primero definiendo esquemas para cada U afín abierto , estableciendo
y mapas , y luego mostrar que estos datos se pueden pegar "sobre" cada intersección de dos afines abiertos U y V para formar un esquema Y que definimos como. No es difícil demostrar que definir cada ser el mapa correspondiente a la inclusión de en S ( U ) como los elementos de grado cero produce la consistencia necesaria de la, mientras que la consistencia del ellos mismos se deduce de la suposición de cuasi-coherencia en S .
La gavilla retorcida
Si S tiene la propiedad adicional de quees una gavilla coherente y genera localmente S sobre(es decir, cuando pasamos al tallo de la gavilla S en un punto x de X , que es un álgebra graduada cuyos elementos de grado cero forman el anillo entonces los elementos de grado uno forman un módulo finitamente generado sobre y también generar el tallo como un álgebra sobre él), entonces podemos hacer una construcción adicional. Sobre cada afín U abierto , Proj S ( U ) lleva una gavilla invertible O (1) , y la suposición que acabamos de hacer asegura que estas gavillas se pueden pegar como elsobre; la gavilla resultante entambién se denota O (1) y tiene el mismo propósito para como lo hace la gavilla que se retuerce en el Proj de un anillo.
Proyecto de una gavilla casi coherente
Dejar ser una gavilla casi coherente en un esquema . El haz de álgebras simétricas es, naturalmente, un haz cuasi coherente de graduado -módulos, generados por elementos de grado 1. El esquema resultante se denota por . Si es de tipo finito, entonces su morfismo canónico es un morfismo proyectivo . [2]
Para cualquier , la fibra del morfismo anterior sobre es el espacio proyectivo asociado al dual del espacio vectorial encima .
Si es un haz cuasi coherente de grados -módulos, generados por y tal que es de tipo finito, entonces es un subesquema cerrado de y luego es proyectiva sobre . De hecho, todo subesquema cerrado de un proyectoes de esta forma. [3]
Paquetes de espacio proyectivo
Como caso especial, cuando es localmente libre de rango , obtenemos un paquete proyectivo encima de dimensión relativa . De hecho, si tomamos una tapa abierta de X por afines abiertos de tal manera que cuando se restringe a cada uno de estos, es libre sobre A , entonces
y por lo tanto es un paquete espacial proyectivo. Se pueden construir muchas familias de variedades como subesquemas de estos haces proyectivos, como la familia de curvas elípticas de Weierstrass. Para obtener más detalles, consulte el artículo principal.
Ejemplo de proyecto global
El proyecto global se puede utilizar para construir lápices Lefschetz . Por ejemplo, deja y tomar polinomios homogéneos de grado k. Podemos considerar la gavilla ideal de y construir un proyecto global de este conjunto cociente de álgebras . Esto puede describirse explícitamente como el morfismo proyectivo.
Ver también
Espacio proyectivo
Geometría algebraica de espacios proyectivos
Proyectivización
Referencias
^ Ravi Vakil (2015). Fundamentos de la geometría algebraica (PDF) ., Corolario 15.4.3.
↑ EGA , II.5.5.
↑ EGA , II.5.5.1.
Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 8 . doi : 10.1007 / bf02699291 . Señor 0217084 .
Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157