Ideal (teoría del orden)

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En la teoría del orden matemático , un ideal es un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado (poset). Aunque este término históricamente se derivó de la noción de un ideal de anillo del álgebra abstracta , posteriormente se ha generalizado a una noción diferente. Los ideales son de gran importancia para muchas construcciones en la teoría del orden y la celosía .

Definiciones basicas

Un subconjunto I de un conjunto parcialmente ordenado ( P , ≤) es un ideal , si se cumplen las siguientes condiciones: ^{[1] [2]}

1. Me es no vacío ,
2. para cada x en I y y en P , y ≤ x implica que y está en I  ( I es un conjunto inferior ),
3. para cada x , y en I , hay algún elemento z en I , tal que x ≤ z y y ≤ z  ( I es un conjunto dirigido ).

Si bien esta es la forma más general de definir un ideal para posets arbitrarios, originalmente se definió solo para celosías . En este caso, se puede dar la siguiente definición equivalente: un subconjunto I de una red ( P , ≤) es un ideal si y solo si es un conjunto inferior que está cerrado bajo uniones finitas ( suprema ), es decir, no está vacío y para todas las x , y en que , el elemento de P es también en I . ^[3]${\displaystyle x\vee y}$

La noción dual de ideal, es decir, el concepto que se obtiene invirtiendo todo ≤ e intercambiando con , es un filtro . ${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \wedge }$

Algunos autores usan el término ideal para referirse a un conjunto inferior, es decir, solo incluyen la condición 2 anterior, ^{[4] [5]} mientras que otros usan el término ideal de orden para esta noción más débil. ^[6] Con la definición más débil, un ideal de una celosía visto como un poset no está cerrado bajo uniones, por lo que no es necesariamente un ideal de la celosía. ^[6] Wikipedia usa sólo "ideal / filtro (de la teoría del orden)" y "conjunto inferior / superior" para evitar confusiones.

Los ideales de Frink , los pseudoideales y los pseudoideales de Doyle son diferentes generalizaciones de la noción de ideal de celosía.

Se dice que un ideal o filtro es apropiado si no es igual al conjunto P completo . ^[3]

El ideal más pequeño que contiene un elemento dado p es un ideal principal y se dice que p es un elemento principal del ideal en esta situación. El principal ideal para un principal p está dado por ↓ p = { x ∈ P | x ≤ p } .${\displaystyle \downarrow p}$

Ideales primordiales

Un caso especial importante de un ideal lo constituyen aquellos ideales cuyos complementos de la teoría de conjuntos son filtros, es decir, ideales en orden inverso. Estos ideales se denominan ideales primordiales . También tenga en cuenta que, dado que requerimos que los ideales y filtros no estén vacíos, cada ideal principal es necesariamente adecuado. Para las celosías, los ideales primos se pueden caracterizar de la siguiente manera:

Un subconjunto I de una red ( P , ≤) es un ideal primo, si y solo si

1. I es un ideal propio de P , y
2. para todos los elementos x y y de P , en I implica que x ∈ I o y ∈ I .${\displaystyle x\wedge y}$

Se puede comprobar fácilmente que esto es equivalente a afirmar que P \ I es un filtro (que también es primo, en el sentido dual).

Para una celosía completa, la noción adicional de un ideal completamente primordial es significativa. Se define para ser un ideales adecuada I con la propiedad adicional de que, siempre que el encuentro ( infimum ) de algún conjunto arbitrario A está en I , algún elemento de A está también en I . Así que este es solo un ideal primo específico que extiende las condiciones anteriores a encuentros infinitos.

En general, la existencia de ideales primos no es obvia y, a menudo, no se puede derivar una cantidad satisfactoria de ideales primarios dentro de ZF ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección ). Este tema se discute en varios teoremas de ideales primos , que son necesarios para muchas aplicaciones que requieren ideales primos.

Ideales máximos

Un ideal que es máxima si es adecuado y no hay adecuada ideales J que es un estricto conjunto superconjunto de I . Del mismo modo, un filtro F es máximo si es adecuado y no hay un filtro adecuado que sea un superconjunto estricto.

Cuando un poset es un retículo distributivo , los ideales y filtros máximos son necesariamente primos, mientras que el inverso de esta afirmación es falso en general.

Los filtros máximos a veces se denominan ultrafiltros , pero esta terminología a menudo se reserva para las álgebras de Boole, donde un filtro máximo (ideal) es un filtro (ideal) que contiene exactamente uno de los elementos { a , ¬ a }, para cada elemento a del Álgebra de Boole. En álgebras de Boole, los términos ideal primo e ideal máximo coinciden, al igual que los términos filtro primo y filtro máximo .

Hay otra idea interesante de maximalidad de ideales: Considere un ideal I y un filtro F tal que me es disjunta de F . Estamos interesados en un ideal M que es máxima entre todos los ideales que contienen I y son disjunta de F . En el caso de las redes distributivas, tal M es siempre un ideal primo. A continuación se muestra una prueba de esta afirmación.

Prueba  -

Supongamos que el ideal M es máxima con respecto a la disjunción del filtro F . Supongamos, por una contradicción que M no es primo, es decir, existe un par de elementos de una y b de tal manera que un ∧ b en M pero ni una ni b son en M . Considere el caso de que para todo m en M , m ∨ un no es en F . Se puede construir un N ideal tomando el cierre descendente del conjunto de todas las uniones binarias de esta forma, es decir, N= { x | x ≤ m ∨ a para algunos m ∈ M } . Se comprueba fácilmente que N es de hecho una disjuntos ideal F que es estrictamente superior a M . Pero esto contradice la maximalidad de M y, por lo tanto, la suposición de que M no es primo.

Para el otro caso, se supone que hay un cierto m en M con m ∨ una en F . Ahora bien, si cualquier elemento n en M es tal que n ∨ b está en F , se encuentra que ( m ∨ n ) ∨ b y ( m ∨ n ) ∨ un están ambos en F . Pero entonces su encuentro está en F y, por distributividad, ( m ∨ n ) ∨ ( a ∧b ) está en F también. Por otro lado, esta unión finita de elementos de M está claramente en M , de modo que la supuesta existencia de n contradice la disyunción de los dos conjuntos. Por lo tanto todos los elementos n de M tienen una combinación con b que no está en F . Por consiguiente se puede aplicar la construcción anterior con b en lugar de una para obtener un ideal que es estrictamente mayor que M mientras que ser disjunta de F . Esto termina la prueba.

Sin embargo, en general no está claro si existe algún ideal M que sea máximo en este sentido. Sin embargo, si asumimos el axioma de elección en nuestra teoría de conjuntos, entonces se puede demostrar la existencia de M para cada filtro-par ideal disjunto. En el caso especial de que el orden considerado sea un álgebra booleana , este teorema se denomina teorema del ideal primo booleano . Es estrictamente más débil que el axioma de elección y resulta que no se necesita nada más para muchas aplicaciones de ideales de la teoría del orden.

Aplicaciones

La construcción de ideales y filtros es una herramienta importante en muchas aplicaciones de la teoría del orden.

• En el teorema de representación de Stone para álgebras booleanas , los ideales máximos (o, de manera equivalente, a través del mapa de negación, ultrafiltros) se utilizan para obtener el conjunto de puntos de un espacio topológico , cuyos conjuntos abiertos son isomorfos al álgebra booleana original.
• La teoría de la orden conoce muchos procedimientos de finalización , para convertir las postales en postales con propiedades de completitud adicionales . Por ejemplo, la finalización ideal de un orden parcial dado P es el conjunto de todos los ideales de P ordenados por inclusión de subconjuntos. Esta construcción produce el libre DCPO generada por P . Un ideal es principal si y solo si es compacto en la terminación ideal, por lo que el poset original puede recuperarse como el subposet que consta de elementos compactos. Además, cada dcpo algebraico puede reconstruirse como la terminación ideal de su conjunto de elementos compactos.

Historia

Los ideales fueron introducidos primero por Marshall H. Stone , quien derivó su nombre de los ideales de anillo del álgebra abstracta. Adoptó esta terminología porque, utilizando el isomorfismo de las categorías de álgebras de Boole y de anillos de Boole , las dos nociones coinciden de hecho.

Literatura

Los ideales y los filtros se encuentran entre los conceptos más básicos de la teoría de órdenes. Consulte los libros introductorios que se proporcionan para la teoría de órdenes y la teoría de celosía , y la literatura sobre el teorema del ideal de los primos booleanos .

Ver también

• Filtro (matemáticas)
• Ideal (teoría del anillo)
• Ideal (teoría de conjuntos)

Notas

1. Taylor (1999) , p. 141 : "Un subconjunto inferior dirigido de un poset X se llama ideal"
2. Gierz, G .; Hofmann, KH; Keimel, K .; Lawson, JD; Mislove, MW; Scott, DS (2003). Celosías y dominios continuos . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. 93 . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 3 . ISBN 0521803381.
3. Burris y Sankappanavar 1981 , Def. 8.2.
4. Lawson (1998) , p. 22
5. Stanley (2002) , p. 100
6. Davey y Priestley , 2002 , págs.20, 44.

Referencias

• Burris, Stanley N .; Sankappanavar, Hanamantagouda P. (1981). Un curso de álgebra universal . Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
• Davey, Brian A .; Priestley, Hilary Ann (2002). Introducción a las celosías y el orden (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-78451-4.
• Lawson, MV (1998). Semigrupos inversos: la teoría de las simetrías parciales . World Scientific. ISBN 978-981-02-3316-7.
• Stanley, RP (2002). Combinatoria enumerativa . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. 1 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-66351-9.
• Taylor, Paul (1999), Fundamentos prácticos de las matemáticas , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 59 , Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-63107-6, MR  1694820