En geometría diferencial y sistemas dinámicos , una geodésica cerrada en una variedad de Riemann es una geodésica que regresa a su punto de partida con la misma dirección tangente. Puede formalizarse como la proyección de una órbita cerrada del flujo geodésico en el espacio tangente del colector.
Definición
En una variedad de Riemann ( M , g ), una geodésica cerrada es una curvaque es una geodésica para la métrica gy es periódica.
Las geodésicas cerradas se pueden caracterizar por medio de un principio variacional. Denotando porel espacio de curvas suaves 1-periódicas en M , las geodésicas cerradas del período 1 son precisamente los puntos críticos de la función de energía, definido por
Si es una geodésica cerrada del período p , la curva reparametrizadaes una geodésica cerrada del periodo 1, y por lo tanto es un punto crítico de E . Sies un punto crítico de E , también lo son las curvas reparametrizadas, para cada , definido por . Así, cada geodésica cerrado en M da lugar a una secuencia infinita de puntos críticos de la energía E .
Ejemplos de
En la esfera de la unidad con la métrica estándar redonda de Riemann, cada círculo máximo es un ejemplo de una geodésica cerrada. Así, en la esfera, todas las geodésicas están cerradas. En una superficie lisa topológicamente equivalente a la esfera, esto puede no ser cierto, pero siempre hay al menos tres geodésicas cerradas simples; este es el teorema de las tres geodésicas . [1] Los colectores cuyas geodésicas están cerradas se han investigado a fondo en la literatura matemática. En una superficie hiperbólica compacta , cuyo grupo fundamental no tiene torsión, las geodésicas cerradas están en correspondencia uno a uno con clases de elementos de conjugación no triviales en el grupo fucsiano de la superficie.
Ver también
Referencias
- ^ Grayson, Matthew A. (1989), "Acortar curvas incrustadas" (PDF) , Annals of Mathematics , Segunda serie, 129 (1): 71-111, doi : 10.2307 / 1971486 , JSTOR 1971486 , MR 0979601.
- Besse, A .: "Colectores cuyas geodésicas están cerradas", Ergebisse Grenzgeb. Matemáticas. , No. 93, Springer, Berlín, 1978.