Sistema coordinado
En geometría , un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números , o coordenadas , para determinar de forma única la posición de los puntos u otros elementos geométricos en una variedad como el espacio euclidiano . [1] [2] El orden de las coordenadas es significativo, y a veces se identifican por su posición en una tupla ordenada ya veces por una letra, como en "la coordenada x ". Las coordenadas se toman como números reales en matemáticas elementales , pero pueden ser números complejoso elementos de un sistema más abstracto como un anillo conmutativo . El uso de un sistema de coordenadas permite traducir problemas de geometría a problemas de números y viceversa ; esta es la base de la geometría analítica . [3]
El ejemplo más simple de un sistema de coordenadas es la identificación de puntos en una recta con números reales utilizando la recta numérica . En este sistema, se elige un punto O arbitrario (el origen ) en una línea dada. La coordenada de un punto P se define como la distancia con signo de O a P , donde la distancia con signo es la distancia que se toma como positiva o negativa dependiendo de qué lado de la línea se encuentra P. A cada punto se le asigna una coordenada única y cada número real es la coordenada de un punto único. [4]
El ejemplo prototípico de un sistema de coordenadas es el sistema de coordenadas cartesianas . En el plano , se eligen dos rectas perpendiculares y se toman las coordenadas de un punto como las distancias con signo a las rectas.
En tres dimensiones se eligen tres planos ortogonales entre sí y las tres coordenadas de un punto son las distancias con signo a cada uno de los planos. [5] Esto se puede generalizar para crear n coordenadas para cualquier punto en el espacio euclidiano de n dimensiones.
Dependiendo de la dirección y el orden de los ejes de coordenadas, el sistema tridimensional puede ser un sistema diestro o zurdo. Este es uno de los muchos sistemas de coordenadas.
Otro sistema de coordenadas común para el plano es el sistema de coordenadas polares . [6] Se elige un punto como polo y un rayo de este punto se toma como eje polar . Para un ángulo θ dado , hay una sola línea a través del polo cuyo ángulo con el eje polar es θ (medido en sentido antihorario desde el eje hasta la línea). Entonces hay un único punto en esta línea cuya distancia con signo desde el origen es r para el número dado r . Para un par dado de coordenadas ( r , θ ) hay un solo punto, pero cualquier punto está representado por muchos pares de coordenadas. Por ejemplo, ( r, θ ), ( r , θ +2 π ) y (− r , θ + π ) son todas coordenadas polares para el mismo punto. El polo está representado por (0, θ ) para cualquier valor de θ .
